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解直角三角形一.选择题
1. （2024?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m
B．50m
C．30m
D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝解得，AC＝75， 故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2. （2024?广西北部湾经济区?3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，
cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】
解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF=x， ∵tan65°=
，
，
∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=
，
∴OF=（3+x）tan35°， ∴2.1x=0.7（3+x），
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∴x=1.5， ∴OF=1.5×2.1=3.15， ∴OE=3.15+1.5=4.65， 故选：C．
过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
二.填空题
1. （2024?江苏宿迁?3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 ＜ ．
＜BC
【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．
【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30°
∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30°
∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2
，
＜BC＜2
．
，
当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时故答案为：
＜BC＜2
．
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【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． www.czsx.com.cn
2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC中，BC＝6?2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________.
【答案】2
【解析】过A作AD⊥BC于D点，设AC=2x，则AB=2x，因为∠C=45°，所以AD=AC=x，则由勾股定理得BD=所以AB=3x?x?
3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是__________.
AB2?AD2?3x，因为AB=6?2，
6?2,则x=2.则AC=2.
【答案】y?1x?1 31，0），B（0,-1），2【解析】因为一次函数y＝2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，则A（
则AB=
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过A作AD⊥BC于点D，因为∠ABC=45°，所以由勾股定理得AD=
10，设BC=x，则4AC=OC-OA=x?1?210112x，，根据等面积可得：AC×OB=BC×AD，即x?1?=422解得x=10.则AC=3，即C（3，0），所以直线BC的函数表达式是y?
1x?1. 33. （2024?浙江湖州?4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 120 cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF， ∵BO＝DO， ∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°， ∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm， ∴h＝AF＝AB?cos∠FAB＝150×0.8＝120cm， 故答案为：120
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【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键． 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
三.解答题
1. （2024?江苏宿迁?10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm． （1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长． （结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案； （2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝
求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣
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2024年全国各地中考数学试题分类汇编（第二期） 专题28 解直角三角形（含解析）
