2021中考数学重难点专练几何综合题含解析

1.如图1、矩形ABCD中、点E为AB边上的动点（不与A、B重合）、把△ADE沿DE翻折、点A的对应点为A1、延长EA1交直线DC于点F、再把△BEF折叠、使点B的对应点B1落在EF上、折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE△△B1EH；

（2）如图2、直线MN是矩形ABCD的对称轴、若点A1恰好落在直线MN上、试判断△DEF的形状、并说明理由；

（3）如图3、在（2）的条件下、点G为△DEF内一点、且△DGF＝150°、试探究DG、EG、FG的数量关系．

【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°、△EBH＝△EB1H＝90°、△AED＝△A1ED、△BEH＝△B1EH、

△△DEA1+△HEB1＝90°． 又△△HEB1+△EHB1＝90°、 △△DEA1＝△EHB1、 △△A1DE△△B1EH；

（2）结论：△DEF是等边三角形； 理由如下：

△直线MN是矩形ABCD的对称轴、 △点A1是EF的中点、即A1E＝A1F、 在△A1DE和△A1DF中

△△A1DE△△A1DF（SAS）、 △DE＝DF、△FDA1＝△EDA1、 又△△ADE△△A1DE、△ADF＝90°． △△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°、 △△EDF＝60°、 △△DEF是等边三角形；

（3）DG、EG、FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2、

理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置、如解图（1）、 △G'F＝GE、DG'＝DG、△GDG'＝60°、 △△DGG'是等边三角形、 △GG'＝DG、△DGG'＝60°、 △△DGF＝150°、 △△G'GF＝90°、 △G'G2+GF2＝G'F2、 △DG2+GF2＝GE2、

2.在图1、2、3中、已知△ABCD、△ABC＝120°、点E为线段BC上的动点、连接AE、以AE为边向上作菱形AEFG、且△EAG＝120°．

（1）如图1、当点E与点B重合时、△CEF＝ °； （2）如图2、连接AF．

△填空：△FAD △EAB（填“＞”、“＜“、“＝”）； △求证：点F在△ABC的平分线上；

（3）如图3、连接EG、DG、并延长DG交BA的延长线于点H、当四边形AEGH是平行四边形时、求的值．

【解析】（1）△四边形AEFG是菱形、 △△AEF＝180°﹣△EAG＝60°、 △△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°、 故答案为：60°；

（2）△△四边形ABCD是平行四边形、 △△DAB＝180°﹣△ABC＝60°、 △四边形AEFG是菱形、△EAG＝120°、 △△FAE＝60°、 △△FAD＝△EAB、 故答案为：＝；

△作FM△BC于M、FN△BA交BA的延长线于N、 则△FNB＝△FMB＝90°、 △△NFM＝60°、又△AFE＝60°、 △△AFN＝△EFM、 △EF＝EA、△FAE＝60°、 △△AEF为等边三角形、 △FA＝FE、

在△AFN和△EFM中、、

△△AFN△△EFM（AAS）

△FN＝FM、又FM△BC、FN△BA、 △点F在△ABC的平分线上；

（3）△四边形AEFG是菱形、△EAG＝120°、 △△AGF＝60°、 △△FGE＝△AGE＝30°、 △四边形AEGH为平行四边形、 △GE△AH、

△△GAH＝△AGE＝30°、△H＝△FGE＝30°、 △△GAN＝90°、又△AGE＝30°、 △GN＝2AN、

△△DAB＝60°、△H＝30°、

△△ADH＝30°、 △AD＝AH＝GE、

△四边形ABCD为平行四边形、 △BC＝AD、 △BC＝GE、

△四边形ABEH为平行四边形、△HAE＝△EAB＝30°、 △平行四边形ABEN为菱形、 △AB＝AN＝NE、 △GE＝3AB、 △

＝3．

3.如图1、△O经过等边△ABC的顶点A、C（圆心O在△ABC内）、分别与AB、CB的延长线交于点D、E、连结DE、BF△EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE．

（2）当AF：EF＝3：2、AC＝6时、求AE的长． （3）设

＝x、tan△DAE＝y．

△求y关于x的函数表达式；

△如图2、连结OF、OB、若△AEC的面积是△OFB面积的10倍、求y的值．

（1）△△ABC是等边三角形、BAC＝△C＝60°、

DEB＝△BAC＝60°、△D＝△C＝60°、 DEB＝△D、 BD＝BE；

2）如图1、过点A作AG△BC于点G、 ABC是等边三角形、AC＝6、 BG＝

、

在Rt△ABG中、AG＝BG＝3、

BF△EC、 BF△AG、 、

AF：EF＝3：2、 BE＝

BG＝2、

EG＝BE+BG＝3+2＝5、

【解析】证明： △△△△△△△（△△△△△△△

△△△在Rt△AEG中、AE＝；

（3）△如图1、过点E作EH△AD于点H、

△△EBD＝△ABC＝60°、 △在Rt△BEH中、

、

△EH＝、BH＝、

△、

△BG＝xBE、

△AB＝BC＝2BG＝2xBE、 △AH＝AB+BH＝2xBE+

BE＝（2x+

）BE、

△在Rt△AHE中、tan△EAD＝、

△y＝；

△如图2、过点O作OM△BC于点M、

设BE＝a、 △

、

△CG＝BG＝xBE＝ax、 △EC＝CG+BG+BE＝a+2ax、 △EM＝

EC＝

a+ax、

△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a、

△BF△AG、 △△EBF△△EGA、 △

、

△AG＝△BF＝

、 、

△△OFB的面积＝、

△△AEC的面积＝、

△△AEC的面积是△OFB的面积的10倍、

△

△2x2﹣7x+6＝0、 解得：

、

、

△、

探究问题 4.思维启迪：

（1）如图1、A、B两点分别位于一个池塘的两端、小亮想用绳子测量A、B间的距离、但绳子不够长、聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C、连接BC、取BC的中点P（点P可以直接到达A点）、利用工具过点C作CD//AB交AP的延长线于点D、此时测得CD?200米、那么A、B间的距离是 米． 思维探索：

（2）在?ABC和?ADE中、AC?BC、AE?DE、且AE?AC、?ACB??AED?90?、将?ADE绕点A顺时针方向旋转、把点E在AC边上时?ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧）、设旋转角为?、连接BD、点P是线段BD的中点、连接PC、PE．

△如图2、当?ADE在起始位置时、猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；

△如图3、当??90?时、点D落在AB边上、请判断PC与PE的数量关系和位置关系、并证明你的结论； △当??150?时、若BC?3、DE?l、请直接写出PC2的值．

【解析】（1）解：CD//AB、??C??B、 ?BP?CP?在?ABP和?DCP中、??APB??DPC、

??B??C???ABP??DCP(SAS)、 ?DC?AB． AB?200米． ?CD?200米、

故答案为：200．

（2）△PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC?PE、PC?PE． 理由如下：如解图1、延长EP交BC于F、 同（1）理、可知??FBP??EDP(SAS)、

?PF?PE、BF?DE、

又

AC?BC、AE?DE、

?FC?EC、

又?ACB?90?、

??EFC是等腰直角三角形、

EP?FP、

?PC?PE、PC?PE．

△PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC?PE、PC?PE．

理由如下：如解图2、作BF//DE、交EP延长线于点F、连接CE、CF、 同△理、可知?FBP??EDP(SAS)、

1?BF?DE、PE?PF?EF、

2DE?AE、 ?BF?AE、

当??90?时、?EAC?90?、 ?ED//AC、EA//BC FB//AC、?FBC?90、 ??CBF??CAE、

?BF?AE?在?FBC和?EAC中、??CBE??CAE、

?BC?AC???FBC??EAC(SAS)、 ?CF?CE、?FCB??ECA、 ?ACB?90?、 ??FCE?90?、

??FCE是等腰直角三角形、

EP?FP、

?CP?EP、CP?EP?1EF． 2△如解图2、作BF//DE、交EP延长线于点F、连接CE、CF、过E点作EH?AC交CA延长线于H点、 当??150?时、由旋转旋转可知、?CAE?150?、DE与BC所成夹角的锐角为30?、 ??FBC??EAC???150?、

同△可得?FBP??EDP(SAS)、

同△?FCE是等腰直角三角形、CP?EP、CP?EP?在Rt?AHE中、?EAH?30?、AE?DE?1、

31、AH?、

222CE、 2?HE?又AC?AB?3、

?AH?3?3、 2?EC2?AH2?HE2?10?33、

?PC2?110?33． EC2?22

动点问题

5.如图、在等边△ABC中、AB＝6cm、动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动、当点P到达点B时、点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E、连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时、△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t、使点F在△ABC的平分线上？若存在、求出t的值、若不存在、请说明理由； （3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M、连接PM、将△BPM沿直线PM翻折、得△B′PM、连接AB′、当t为何值时、AB'

的值最小？并求出最小值．

【解析】（1）△△ABC是等边三角形、 △△B＝60°、

△当BQ＝2BP时、△BPQ＝90°、 △6+t＝2（6﹣t）、 △t＝3、

△t＝3时、△BPQ是直角三角形． （2）存在．

理由：如图1中、连接BF交AC于M．

△BF平分△ABC、BA＝BC、 △BF△AC、AM＝CM＝3cm、 △EF△BQ、 △△EFM＝△FBC＝

△ABC＝30°、

△EF＝2EM、 △t＝2?（3﹣

t）、

解得t＝3．

（3）如图2中、作PK△BC交AC于K．

△△ABC是等边三角形、△△B＝△A＝60°、 △PK△BC、△△APK＝△B＝60°、 △△A＝△APK＝△AKP＝60°、 △△APK是等边三角形、△PA＝PK、 △PE△AK、△AE＝EK、

△AP＝CQ＝PK、△PKD＝△DCQ、△PDK＝△QDC、 △△PKD△△QCD（AAS）、 △DK＝DC、 △DE＝EK+DK＝

（AK+CK）＝

AC＝3（cm）．

（4）如图3中、连接AM、AB′

△BM＝CM＝3、AB＝AC、 △AM△BC、 △AM＝

＝3

、

△AB′≥AM﹣MB′、 △AB′≥3

﹣3、

﹣3．

△AB′的最小值为3

6.如图、四边形ABCD是矩形、AB＝20、BC＝10、以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC、△G＝90°．点M在线段AB上、且AM＝a、点P沿折线AD﹣DG运动、点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合）、在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x． （1）若a＝12．

△如图1、当点P在线段AD上时、若四边形AMQP的面积为48、则x的值为 ； △在运动过程中、求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2、若点P在线段DG上时、要使四边形AMQP的面积始终不小于50、求a的取值范围．

【解析】

（1）解：△P在线段AD上、PQ＝AB＝20、AP＝x、AM＝12、 四边形AMQP的面积＝

（12+20）x＝48、

解得：x＝3； 故答案为：3；

△当P、在AD上运动时、P到D点时四边形AMQP面积最大、为直角梯形、 △0＜x≤10时、四边形AMQP面积的最大值＝

（12+20）10＝160、

当P在DG上运动、10＜x≤20、四边形AMQP为不规则梯形、

作PH△AB于M、交CD于N、作GE△CD于E、交AB于F、如图2所示： 则PM＝x、PN＝x﹣10、EF＝BC＝10、 △△GDC是等腰直角三角形、 △DE＝CE、GE＝

CD＝10、

△GF＝GE+EF＝20、 △GH＝20﹣x、 由题意得：PQ△CD、 △△GPQ△△GDC、

△＝、

即＝、

解得：PQ＝40﹣2x、 △梯形AMQP的面积＝

（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169、

△当x＝13时、四边形AMQP的面积最大＝169；

（2）解：P在DG上、则10≤x≤20、AM＝a、PQ＝40﹣2x、 梯形AMQP的面积S＝

（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+

x、对称轴为：x＝10+

、

△0≤x≤20、 △10≤10+

≤15、对称轴在10和15之间、

△10≤x≤20、二次函数图象开口向下、 △当x＝20时、S最小、 △﹣202+

×20≥50、

△a≥5；

综上所述、a的取值范围为5≤a≤20．

7. (2019 山东省济宁市)如图1、在矩形ABCD中、AB＝8、AD＝10、E是CD边上一点、连接AE、将矩形ABCD沿AE折叠、顶点D恰好落在BC边上点F处、延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；

（2）如图2、M、N分别是线段AG、DG上的动点（与端点不重合）、且△DMN＝△DAM、设AM＝x、DN＝y．

△写出y关于x的函数解析式、并求出y的最小值；

△是否存在这样的点M、使△DMN是等腰三角形？若存在、请求出x的值；若不存在、请说明理由．

【解析】（1）如图1中、

△四边形ABCD是矩形、△AD＝BC＝10、AB＝CD＝8、 △△B＝△BCD＝90°、

由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF、设EC＝x、则DE＝EF＝8﹣x． 在Rt△ABF中、BF＝

＝6、△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4、

在Rt△EFC中、则有：（8﹣x）2＝x2+42、 △x＝3、△EC＝3．

（2）△如图2中、

△AD△CG、 △

＝

、

△＝、

△CG＝6、

△BG＝BC+CG＝16、 在Rt△ABG中、AG＝

＝8

、

在Rt△DCG中、DG＝＝10、

△AD＝DG＝10、 △△DAG＝△AGD、

△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM、△DMN＝△DAM、 △△ADM＝△NMG、 △△ADM△△GMN、 △

＝

、

△＝、

△y＝x2﹣x+10．

当x＝4时、y有最小值、最小值＝2．

△存在．有两种情形：如图3﹣1中、当MN＝MD时、

△△MDN＝△GMD、△DMN＝△DGM、 △△DMN△△DGM、 △

＝

、

△MN＝DM、 △DG＝GM＝10、 △x＝AM＝8

﹣10．

如图3﹣2中、当MN＝DN时、作MH△DG于H．

△MN＝DN、 △△MDN＝△DMN、 △△DMN＝△DGM、 △△MDG＝△MGD、

△MD＝MG、 △BH△DG、 △DH＝GH＝5、 由△GHM△△GBA、可得

＝

、

△＝、

△MG＝、

△x＝AM＝8﹣＝．

综上所述、满足条件的x的值为8﹣10或．

8.已知：如图、在四边形ABCD中、AB△CD、△ACB＝90°、AB＝10cm、BC＝8cm、OD垂直平分A C．点P从点B出发、沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时、点Q从点D出发、沿DC方向匀速运动、速度为1cm/s；当一个点停止运动、另一个点也停止运动．过点P作PE△AB、交BC于点E、过点Q作QF△AC、分别交AD、OD于点F、G．连接OP、EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）、解答下列问题： （1）当t为何值时、点E在△BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2）、求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中、是否存在某一时刻t、使四边形PEGO的面积最大？若存在、求出t的值；若不存在、请说明理由；

（4）连接OE、OQ、在运动过程中、是否存在某一时刻t、使OE△OQ？若存在、求出t的值；若不存在、请说明理由．

【解析】

（1）在Rt△ABC中、△△ACB＝90°、AB＝10cm、BC＝8cm、 △AC＝

＝6（cm）、

△OD垂直平分线段AC、

△OC＝OA＝3（cm）、△DOC＝90°、 △CD△AB、 △△BAC＝△DCO、 △△DOC＝△ACB、 △△DOC△△BCA、 △

＝

＝

、

△＝＝、

△CD＝5（cm）、OD＝4（cm）、 △PB＝t、PE△AB、 易知：PE＝

t、BE＝

t、

当点E在△BAC的平分线上时、

△EP△AB、EC△AC、 △PE＝EC、 △

t＝8﹣

t、

△t＝4．

△当t为4秒时、点E在△BAC的平分线上． （2）如图、连接OE、PC．

S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC） ＝

?（4﹣

t）?3+[

?3?（8﹣

t）+

?（8﹣

t）?

t﹣

?3?（8﹣

t）

＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．

（3）存在． △S＝﹣

（t﹣

）2+

（0＜t＜5）、

△t＝时、四边形OPEG的面积最大、最大值为．

（4）存在．如图、连接OQ． △OE△OQ、

△△EOC+△QOC＝90°、 △△QOC+△QOG＝90°、 △△EOC＝△QOG、 △tan△EOC＝tan△QOG、 △

＝

、

△＝、

整理得：5t2﹣66t+160＝0、 解得t＝

或10（舍弃）

△当t＝秒时、OE△OQ．

9.如图、在以点O为中心的正方形ABCD中、AD=4、连接AC、动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动、到达点C停止．在运动过程中、△ADE的外接圆交AB于点F、连接DF交AC于点G、连接EF、将△EFG沿EF翻折、得到△EFH． （1）求证：△DEF是等腰直角三角形；

（2）当点H恰好落在线段BC上时、求EH的长；

（3）设点E运动的时间为t秒、△EFG的面积为S、求S关于时间t的关系式．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形、 ∴∠DAC=∠CAB=45°、

∴∠FDE=∠CAB、∠DFE=∠DAC、 ∴∠FDE=∠DFE=45°、∴∠DEF=90°、

∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）设OE=t、连接OD、∴∠DOE=∠DAF=90°、 ∵∠OED=∠DFA、∴△DOE∽△DAF、 ∴

OEOD2 = = 、∴AF=2t 、 AFAD2

又∵∠AEF=∠ADG、∠EAF=∠DAG、 AEAF∴△AEF∽△ADG、∴ = 、

ADAG∴AG · AE=AD · AF=42t 、 又∵AE=OA+OE=22 +t、 42t∴AG= 、

22+t

t2+8

∴EG=AE-AG= 、

22+t

当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°、 ∴△ADF∽△BFH、 ∴

FHFB4-2t = = 、 FDAD4

∵AF∥CD、 ∴∴

FG2t = 、 DF4+2t4-2t2t = 、 44+2t解得：t1=10 -2 、t2=10 +2 （舍去）、 t2+8(10-2)2+8∴EG=EH= = = 310 - 52 ；

22+t22+10-2（3）过点F作FK⊥AC于点K、 t2+8

由（2）得EG= 、

22+t∵DE=EF、∠DEF=90°、

∴∠DEO=∠EFK、

∴△DOE≌△EKF（AAS）、 ∴FK=OE=t、

1t3+8t

∴S△EFG= EG · FK = ．

242+2t

10.在矩形ABCD中、连结AC、点E从点B出发、以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动、运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F、在矩形ABCD的内部作正方形EFGH． （1）如图、当AB＝BC＝8时、

△若点H在△ABC的内部、连结AH、CH、求证：AH＝CH；

△当0＜t≤8时、设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S、求S与t的函数关系式； （2）当AB＝6、BC＝8时、若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分、求t的值．

【解析】（1）△如图1中、

△四边形EFGH是正方形、AB＝BC、 △BE＝BG、AE＝CG、△BHE＝△BGH＝90°、 △△AEH＝△CGH＝90°、 △EH＝HG、

△△AEH△△CGH（SAS）、 △AH＝CH．

△如图1中、当0＜t≤4时、重叠部分是正方形EFGH、S＝t2．

如图2中、当4＜t≤8时、重叠部分是五边形EFGMN、S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝＝﹣t2+32t﹣32．

×8×8﹣2×

（8﹣t）2

综上所述、S＝．

（2）如图3﹣1中、延长AH交BC于M、当BM＝CM＝4时、直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

△EH△BM、 △

＝

、

△＝、

△t＝．

如图3﹣2中、延长AH交CD于M交BC的延长线于K、当CM＝DM＝3时、直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分、易证AD＝CK＝8、

△EH△BK、 △

＝

、

△＝、

△t＝．

如图3﹣3中、当点E在线段AC上时、延长AH交CD于M、交BC的延长线于N．当CM＝DM时、直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分、易证AD＝CN＝8．

在Rt△ABC中、AC＝

＝10、

△EF△AB、 △

＝

、

△＝、

△EF＝（16﹣t）、

△EH△CN、 △

＝

、

△＝、

解得t＝．

综上所述、满足条件的t的值为s或s或s．

11.在平面直角坐标系中、O为原点、点A（6、0）、点B在y轴的正半轴上、△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D、E、C分别在OA、AB、OB上、OD＝2． （△）如图△、求点E的坐标；

（△）将矩形CODE沿x轴向右平移、得到矩形C′O′D′E′、点C、O、D、E的对应点分别为C′、O′、D′、E′．设OO′＝t、矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．

△如图△、当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时、C′E′、E′D′分别与AB相交于点M、F、试用含有t的式子表示S、并直接写出t的取值范围； △当

≤S≤5

时、求t的取值范围（直接写出结果即可）．

【解析】（△）△点A（6、0）、

△OA＝6、 △OD＝2、

△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4、 △四边形CODE是矩形、 △DE△OC、

△△AED＝△ABO＝30°、

在Rt△AED中、AE＝2AD＝8、ED＝

＝

＝4

、

△OD＝2、

△点E的坐标为（2、4

）；

、ME′＝OO′＝t、D′E′△O′C′△OB、

（△）△由平移的性质得：O′D′＝2、E′D′＝4△△E′FM＝△ABO＝30°、

△在Rt△MFE′中、MF＝2ME′＝2t、FE′＝

＝＝t、

△S△MFE′＝ME′?FE′＝×t×t＝、

△S矩形C′O′D′E′＝O′D′?E′D′＝2×4＝8、

△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣、

△S＝﹣t2+8、其中t的取值范围是：0＜t＜2；

△当S＝时、如图△所示：

O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t、

△△AO'F＝90°、△AFO'＝△ABO＝30°、

△O'F＝△S＝

O'A＝（6﹣t）×

（6﹣t） （6﹣t）＝

、

解得：t＝6﹣△t＝6﹣

、或t＝6+（舍去）、

；当S＝5时、如图△所示：

O'A＝6﹣t、D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t、 △O'G＝△S＝

[

（6﹣t）、D'F＝（6﹣t）+

（4﹣t）、

、

（4﹣t）]×2＝5

解得：t＝、

△当≤S≤5时、t的取值范围为≤t≤6﹣．

12.如图、在正方形ABCD中、点E是AB边上的一点、以DE为边作正方形DEFG、DF与BC交于点M、延长EM交GF于点H、EF与GB交于点N、连接CG.（1）求证：CD△CG；（2）若tan△MEN=、求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1、点E在运动过程中、EM的长能否为

13MNEM1？请说明理由. 2

【解析】（1）证明：在正方形ABCD、DEFG中、 DA=DC、DE=DG、△ADC=△EDG=△A=90°（1分）

△△ADC-△EDC=△EDG-△EDC、即△ADE=△CDG、△△ADE△△CDG（SAS）（2分） △△DCG=△A=90°、△CD△CG（3分）

（2）解：△CD△CG、DC△BC、△G、C、M三点共线

△四边形DEFG是正方形、△DG=DE、△EDM=△GDM=45°、又△DM=DM △△EDM△△GDM、△△DME=△DMG（4分）

又△DMG=△NMF、△△DME=△NMF、又△△EDM=△NFM=45° △△DME△△FMN、△

MNFM（5分） ?MEDM又△DE△HF、△

HFFMMNHF、又△ED=EF、△（6分） ??EDDMMEEFHF1MN1?、△?（7分） EF3ME3在Rt△EFH中、tan△HEF=

（3）设AE=x、则BE=1-x、CG=x、设CM=y、则BM=1-y、EM=GM=x+y（8分）

222在Rt△BEM中、BE?BM?EM、△(1?x)?(1?y)?(x?y)、

222解得y?1?x（9分） x?1x2?1x2?111?、 △EM?x?y?、若EM?、则

x?1x?122化简得：2x2?x?1?0、△=-7＜0、△方程无解、故EM长不可能为

1. 213.如图、正方形ABCD的边长为2、E为AB的中点、P是BA延长线上的一点、连接PC交AD于点F、AP＝FD． （1）求

的值；

（2）如图1、连接EC、在线段EC上取一点M、使EM＝EB、连接MF、求证：MF＝PF；

（3）如图2、过点E作EN△CD于点N、在线段EN上取一点Q、使AQ＝AP、连接BQ、BN．将△AQB绕点A旋转、使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上、并说明理由．

【解析】（1）设AP＝FD＝a、△AF＝2﹣a、 △四边形ABCD是正方形、△AB△CD、 △△AFP△△DFC、△

、

即、

△a＝﹣1、

﹣1、

△AP＝FD＝

△AF＝AD﹣DF＝3﹣△

＝

（2）在CD上截取DH＝AF

△AF＝DH、△PAF＝△D＝90°、AP＝FD、 △△PAF△△HDF（SAS）、 △PF＝FH、

△AD＝CD、AF＝DH、 △FD＝CH＝AP＝△点E是AB中点、 △BE＝AE＝1＝EM、 △PE＝PA+AE＝

、 ﹣1、

△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5、 △EC＝

、

﹣1、

△EC＝PE、CM＝△△P＝△ECP、 △AP△CD、 △△P＝△PCD、

△△ECP＝△PCD、且CM＝CH＝﹣1、CF＝CF、

△△FCM△△FCH（SAS）、 △FM＝FH、 △FM＝PF.

（3）若点B'在BN上、如图、以A原点、AB为y轴、AD为x轴建立平面直角坐标系、

△EN△AB、AE＝BE △AQ＝BQ＝AP＝

﹣1

﹣1、AB＝AB'＝2、Q'B'＝QB＝

﹣1、

由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝

△点B（0、﹣2）、点N（2、﹣1） △直线BN解析式为：y＝

x﹣2

设点B'（x、x﹣2）

△AB'＝＝2

△x＝

△点B'（、﹣）

△点Q'（﹣1、0）

△B'Q'＝≠﹣1

△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．