教师姓名 学科 课题名称 难点名称 张秋菊 初中数学 单位名称 年级/册 新疆伊犁州新源县教育局教研中心 填写时间 教材版本 2024年8月11日 八年级（上） 人教版 第十三章13.4课题学习 最短路径问题 1.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2.能通过逻辑推理证明所求距离最短 从知识角度分析为什么难 1.对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，无从下手，找不到解决问题的思路。 2.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用。 最短路径问题从本质上说是极值问题，八年级的学生初次接触，尚没有解决这方面问题的经验，感觉无从下手。 难点分析 从学生角度分析为什么难 引导学生回忆学过的有关线段大小关系的结论，将直线同侧的A、B两点转化为直线异侧的两个难点教学方法 点？怎样转化？为什么需要转化？ 教学环节 教学过程 在七年级，我们学习了“两点之间的连线中线段最短”和“连接直线外一点和直线上任意点的连线中，垂线段最短”，我们称他们为最短路径问题，相传在古希腊亚历山大城有一位将军问一个叫海伦的知名学者这样一个问题： 问题1 如图1，牧马人从需从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后带马到B地，牧马人在什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 导入 图1 1将实际问题抽象成数学问题 这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？ 知识讲解 （难点突破） 我们可以把“A地”、“B地”看作点、“笔直的河l”看作几何中的哪些基本图形？ 师生活动：学生回答：把“A地”、“B地”看作点，把“笔直的河l”看作直线，画出如图2的图形． 图2 实际问题中的“所走的总路径最短”即“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题： 如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小． 是否存在这样一个点呢？ 几何画板演示 图3 2.分析思考，确定所求的点 ①用我们所熟悉的最短路径问题能解决这个为题吗？回答是否定的，我们发现不管点C在哪里，点A，B，C都不在同一直线上，难以构成最短的线段． 设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点． ②如果当A，B两点在直线l的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB与直线l的交点即为所求（如图4）． 设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题． ③ 比较图3和图4，你发现了什么？能把图3中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题转化图4 B 为图4中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题吗？ 同学们不难发现，如果将图3中的点B或者点A移到直线的异侧，问题就迎刃而解了， A C l ④把图3中的点B移到直线l的另一侧的B′，有什么条件？ 要确保对于每一点C，BC=B′C，这样AC+BC=AC+B′C，在保证AC+BC最小就是AC+B′C最小． ⑤根据这一要求，怎样移动点B？ 大家不难想作点B关于直线l的对称点B′的方法就可以把同侧的两点问题转化为异侧两点问题． B （1）作点B关于直线l的对称点B′； A C 图5 B′ l （2）作直线AB，交直线l于C点，则点C即为所求的点． 3.推理证明，确立作出的点符合要求 ①作出的点C是否符合要求，这需要证明，怎样证明？ 师生活动：教师引导学生明确目标，要证明点C符合要求，就是要证明，对于直线l上的任意一点D，都有AD+BD＞AC+BC． 证明：在直线直线l上的任取一点D，连接AD，BD，A B′D． ∵点B和B′关于直线l对称， ∴直线l是线段BB′的垂直平分线， ∵D，C在直线l上， ∴BD=B′D，BC=B′C， 又∵AD+BD＞AB′，AB′=AC+B′C=AC+BC， ∴AD+BD＞AC+BC，即AC+BC最小． D C 图6 B′ l B 课堂练习 （难点巩固） 根据实际教学设计需要增行 小结
实际问题1 图形表示，数学化 轴对称，转化问题 几何问题2 求两点之间连线中最短线问题． 实际问题1的解 实际意义解释 几何问题2的解 图7 轴对称，还原问题
13.4最短路径 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
