污染问题模型
摘要
随着市场经济和现在工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新的问题 --环境污染,为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理 的数学模型来解决现实问题。 通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染变化的结果, 问题（一）湖水污染浓度为5。1178％；问题（二）下降到原来的5%所需时间为398。3120天。在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的.
关键词：微积分方程、MATLAB软件、质量守恒定律、水质自净方程
一、问题重述
设一容积为V(m）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水
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更新的速率为r(m/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型。
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（1） 美国安大略湖容积5941*10（m2），湖水的流量为4。45365＊10(m/天）。湖水现阶
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段的污染浓度为10，外面进入湖中的水的污染浓度为5％,并假设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。
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（2） 美国密西根湖的容积为4871＊10（m）。湖水的流量为3。6635132＊10(m/天）
由于治理污染措施得力及某时刻起污染源被切断,求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。
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二、模型假设
1、，湖水流量为常量，湖水体积为常量； 2、流入流出湖水水污染浓度为常量,
三、符号说明
W(t): t 时刻水污染浓度 t： 时间,以天作单位 m: 外进湖中水污染浓度 r: 湖水的更新速率 V: 湖水的体积
四、问题分析
问题（一）要求经过500天湖水的浓度，由于流入和流出的湖水浓度不同，我们在考虑此问题时，运用微积分方程和质量守恒定律得出水污染浓度与已知量之间的关系;问题（二)污染源被切断的情况,即湖水的污染浓度不再改变，即m=0,由于问题(二）给出污染物浓度下降到原来的5%，从而可以求得所需的时间。 五、模型的建立与求解
设t时刻湖区的污染物浓度为W（t），考虑时间区间[t，t +⊿t]并利用质量守恒定律：
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污染问题模型
[t，t +⊿t]内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。 用数学表达式表示为：
V[w(t+⊿t ）—w（t)]=rm*⊿t—
于是得，令⊿t→0
dw/dt=a—bx t>0,w(0）=wo 其中a=rm/v,b=r/v 求得w（t）=m+（wo—m）
?t?ttrw(s)ds
e^(—r*t/v)……(1）
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问题(一）中v=5.941e12(m）
r=4。45365e10， wo=10%, m=5％,t=500代入式中,得: w(500)=5.1178% 在问题(二）中,m=0，从而rm＊⊿t=0，其中v=4.871e12，r=3。6635132e10,w（t)=5％*wo
代入表示式（1）中，得：t=398.3(天）。
附录：
流入r流出湖区V用MATLAB解问题(一）过程如下：
r=4。45365e10；v=5.941e12;wo=10；m=5;t=500; w=m+(wo-m).*exp(—r。*t/v）
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结果: w =5.1178 问题（二)
r=3。6635132e10;v=4.871e12；m=0；w=0.05wo； w=m—（wo-m）*exp（-r*t/v) a=log(w)；y=a.＊(—v)/r 结果： y = 398.3120
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