《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第1课时

教学分析

本节介绍了用二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，使学生会用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力。

授课类型：新授课 教学目标

1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

教学重难点

用二元一次不等式（组）表示平面区域； 教学过程 1.课题导入

1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课

1．建立二元一次不等式模型

把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。 （把文字语言 转化 符号语言） （资金总数为（1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） ?(12%)x+(10%)y?30000 即12x?10y?3000000 （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?x?0,y?0 （3）

将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

?x?y?25000000??12x?10y?3000000 ?x?0,y?0?25 000 000元）?x?y?25000000

2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，

横坐标x 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 并思考：

当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？

直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界

-3 -2 -1 0 1 2 3 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

【应用举例】

例1 画出不等式x?4y?4表示的平面区域。 解：先画直线x?4y?4（画成虚线）.

取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,

∴原点在x?4y?4表示的平面区域内，不等式x?4y?4表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C?0时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式4x?3y?12所表示的平面区域。 变式2、画出不等式x?1所表示的平面区域。

?y??3x?12例2 用平面区域表示.不等式组?的解集。

x?2y?分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式y??3x?12表示直线y??3x?12右下方的区域，x?2y表示直线x?2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式(x?2y?1)(x?y?4）?0表示的平面区域。

变式2、由直线x?y?2?0，x?2y?1?0和2x?y?1?0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。

3.随堂练习

1、课本第97页的练习1、2、3 4.课时小结

1．二元一次不等式表示的平面区域．

2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域． 5.评价设计

课本第105页习题3.3[A]组的第1题 板书设计 授后记