称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)，(c,d∈R)调和分割 点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是 A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D.
【解析】根据已知得(c,0)?(0,0)??[(1,0)?(0,0)]，即(c,0)??(1,0)，
从而得c??；(d,0)?(0,0)??[(1,0)?(0,0)]，即(d,0)??(1,0)，得d??，
根据
1??11?2，得??2．线段AB的方程是y?0，x?[0,1]． ?cd1若C是线段AB的中点，则c?1111，代入??2，得?0．此等式不可2cdd能成立，故选项A的说法不成立；同理选项B的说法也不成立；若C,D同时在线段AB上，则0?c≤1，0?d≤1，此时≥1，成立，则只能c?d?1。
根据定义，故矛盾，故选项C的说法也不正确，若C,D C,D是两个不同的点，
1c111≥1，?≥2，若等号
cdd1111 ??2，与??2矛盾，
cdcd11111若c?0,d?0，则?是负值，与??2矛盾，若c?1，d?0，则?1，
cdcdc11111?0，此时??1，与??2矛盾，故选项D的说法是正确的． dcdcd同时在线段AB的延长线上，若c?1，d?1，则
42.（2010辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB?b，则△OAB的面积
等于
A．|a||b|?(a?b) B．|a||b|?(a?b) C．22222211|a|2|b|2?(a?b)2 D．|a|2|b|2?(a?b)2 22【答案】C.
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【解析】三角形的面积S=
1|a||b|sin?a,b?，而 211|a|2|b|2?(ab)2?|a|2|b|2?(ab)2cos2?a,b? 2211|a||b|1?cos2?a,b??|a||b|sin?a,b? 22”如下：对任意的a?(m,n)，b?(p,q)，
43.（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“
令ab?mq?np，下面说法错误的是
A．若a与b共线，则aB．ab?0
b?ba
b??(ab)
C．对任意的??R，有(?a)D．(ab)2?(a?b)2?|a|2|b|2
【答案】B.
【解析】若a与b共线，则有a因为bb=mq?np=0，故A正确；
b=mq?np，所以有aa?pn?qm，而ab?ba，
故选项B错误，故选B．
二、填空题.
44.（2019全国Ⅲ13）已知向量a?(2,2),b?(?8,6)，则cos?a,b??___________. 【答案】?2. 10【解析】a?b=2???8??2?6??4，a?22?22?22，
b???8??62?10，cosa,b?2?42． ??1022?1045.（2019北京文9）已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a?b，则m=________． 【答案】8.
【解析】因为a?b，所以a?b???4??6?3?m?0，得m?8.
46.（2019天津文14）在四边形ABCD中， AD∥BC，AB?23 ，AD?5 ，?A?30? ，
点E在线段CB的延长线上，且AE?BE，则BD?AE?__________. 【答案】?1.
十年高考数学专题汇总 第 17 页 共 42 页 平面向量专题
【解析】因为AB?BE，AD//BC，?A?30，
所以在等腰三角形ABE中，?BEA?120， 又AB?23，所以AE?2，所以BE??因为AE?AB?BE，所以AE?AB?又BD?BA?AD??AB?AD， 所以
22272??BD?AE??AB?AD??AB?AD???AB?AB?AD?AD?
555??2AD. 52AD. 5???AB?2273272??25??1. AB?ADcosA?AD??12??5?23?5255547.（2019江苏12）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与
CE交于点O.若AB?AC?6AO?EC，则
AB的值是 . AC
【答案】3.
【解析】设AO??AD??2(AB?AC)，
1??AB??AC,3AO?AE?EO?AE??EC?AE??(AC?AE)?(1??)AE??AC?1??1?????????2?32所以?， 解得?，
???????1???4?2所以AO?111AD?(AB?AC)，EC?AC?AE??AB?AC， 24322113126AO?EC?6?(AB?AC)?(?AB?AC)?(?AB?AB?AC?AC)?
432332213?AB?AB?AC?AC， 22 十年高考数学专题汇总 第 18 页 共 42 页 平面向量专题
22221313因为AB?AC??AB?AB?AC?AC，所以AB?AC，
2222所以
ABAC22?3，所以
AB?3. AC48.（2019浙江17）已知正方形ABCD的边长为1，当每个?i(i?1,2,3,4,5,6)取遍?1时，
最大值是______. |?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD|的最小值是______，【答案】0；25. 【解析】正方形ABCD的边长为1，
可得AB?AD?AC，BD?AD?AB，AB?AD?0，
|?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD|
?|?1AB??2AD??3AB??4AD??5AB??5AD??6AD??6AB| ?|(?1??3??5??6)AB?(?2??4??5??6)AD|
?(?1??3??5??6)2?(?2??4??5??6)2,
由于?i(i?1,2,3,4,5,6)2，3，4，5，取遍?1，
可得?1??3??5??6?0，?2??4??5??6?0，
可取?5??6?1,?1??3?1,?2??1,?4?1，可得所求最小值为0； 由?1??3??5??6?4，?2??4??5??6?4，
可取?2?1,?4??1,?5??6?1,?1?1,?3??1,可得所求最大值为25．
49.（2018全国卷Ⅲ）已知向量a?(1,2)，b?(2,?2)，c?(1,?)．若c?2a?b?，则
?? ．
【答案】
1. 2【解析】2a?b=(4,2)，因为c?(1,?)且c∥(2a?b)，∴1?2?4??0，解得??50.（2018北京）设向量a?(1,0)，b?(?1,m)，若a?(ma?b)，则m=_______． 【答案】?1.
1. 2 十年高考数学专题汇总 第 19 页 共 42 页 平面向量专题
【解析】依题意ma?b=(m?1,?m)，根据向量垂直的充要条件可得
1?(m?1)?0?(?m)?0，所以m??1．
51.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A(?1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两
个动点，且|EF|?2，则AE?BF的最小值为______． 【答案】?3.
【解析】设E(0,t)，F(0,t?2)，所以AE?BF?(1,t)?(?2,t?2)
??2?t(t?2)?t2?2t?2?(t?1)2?3，
当t??1时，AE?BF取得最小值?3．
52.（2017新课标Ⅰ）已知向量a?(?1,2),b?(m,1)．若向量a?b与a垂直，则m= ． 【答案】7.
【解析】∵a?b?(m?1,3)，∴(a?b)?a=0。所以?(m?1)?2?3?0，解得m?7． 53.（2017新课标Ⅲ）已知向量a?(?2,3)，b?(3,m)，且a?b，则m= ． 【答案】2.
【解析】由题意a?b?0，所以?2?3?3?m?0，即m?2．
54.（2017天津）在△ABC中，?A?60?，AB=3，AC=2．若BD?2DC，AE??AC?AB （??R），且AD?AE??4，则?的值为 ． 【答案】
3. 110【解析】AB?AC?3?2?cos60?3，AD?12AB?AC,则 3312?2?12AD?AE?(AB?AC)(?AC?AB)??3??4??9??3??4，
3333333解得??．
1155.（2017山东）已知向量a?(2,6)，b?(?1,?)，若a∥b，则?? ． 【答案】?3.
【解析】由a∥b可得?1?6?2?????3.
56.（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA 十年高考数学专题汇总 第 20 页 共 42 页 平面向量专题
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)
