时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程和Zakharov方程
组的新精确解
任晓静,葛楠楠
【摘 要】摘要:利用推广的Kudryashov方法,借助分数阶行波变换和一致分数阶导数,给出非线性广义时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程和Zakharov方程组的若干双曲函数形式的精确解. 【期刊名称】吉林大学学报（理学版） 【年(卷),期】2019(057)003 【总页数】5
【关键词】关键词:一致分数阶导数； 时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程； 时间分数阶Zakharov方程组； 推广的Kudryashov方法； 精确解 研究简报
基金项目：国家自然科学基金(批准号： 11775047).
分数阶非线性偏微分方程在黏弹性动力学、 量子力学、 光学、 热学、 流体学、 信号处理和图像处理等领域应用广泛. 目前,分数阶非线性偏微分方程的求解方法已有许多,例如: 首次积分法[1]、 (G′/G)-展开法[2]、 exp{-φ(ε)}-展开法[3]、 Kudryashov方法[4-7]等. 本文利用推广的Kudryashov方法求解广义时间分数阶Sharma-Tasso-Olver(STO)方程和Zakharov方程组,给出这两个方程若干双曲函数形式的新精确解.
1 一致分数阶导数
定义1[8] 函数f: [0,∞)→的α阶一致分数阶导数定义为 用fα表示. 如果Tα(f)存在,则定义
引理1[8] 设α∈(0,1]且f,g是α阶可导的,则下列结论成立： 1)Tα(af+bg)=aTα(f)+bTα(g),?a,b∈； 2)Tα(tp)=ptt-α,?p∈； 3)Tα(fg)=fTα(g)+gTα(f)； 5)Tα(f)(t)=t1-αf′(t).
引理2[9-10] 设f,g: (0,∞)→是α阶一致可导函数,其中α∈(0,1),再设g在t处可导,f在g(t)处可导,则
Tα(f°g)(t)=t1-αg(t)α-1g′(t)Tα(f)(g(t)).
2 推广的Kudryashov方法
考虑分数阶非线性偏微分方程: (1)
其中:u=u(x,t)是未知函数;P是u和u对x,t的各阶偏导数的多项式. 该方法步骤如下：
1) 对方程(1)做分数阶行波变换
其中k,l为待定系数,可得如下常微分方程: R(u′,u″,u?,…)=0, (2)
其中:是u及u对ξ的各阶导数的多项式. 2) 设方程(2)的解为 (3)
其中:ai,bj为待定系数;且a≠1,m是常数),且Q(ξ)满足一阶非线性方程
Q′(ξ)=Q(ξ)(Q(ξ)-1)lna. (4)
3) 利用齐次平衡法确定式(3)中的正整数N和M.
4) 将式(3)代入方程(2),并结合方程(4),可得Q的代数方程; 合并Q的相同幂次项,并令Q的各次幂系数为零,可得一个关于ai(i=0,1,…,N),bj(j=0,1,…,M),k,l的代数方程组.
5) 求解上述代数方程组,可得方程(2)的若干精确解.
3 广义时间分数阶STO方程的精确解
考虑如下广义时间分数阶STO方程[11-12]: (5)
其中: 0<α≤1;t>0;β是任意常数. 对方程(5)做行波变换 (6)
其中k,l为待定系数. 将式(6)代入方程(5),得 -lu′+3βk2(u′)2+3βku2u′+3βk2uu″+βk3u?=0, (7)
对式(7)积分并令积分常数为0,得 -lu+βku3+3βk2uu′+βk3u″=0, (8)
平衡式(8)中的最高阶项和非线性项,得N=M+1. 令M=1,N=2,则方程(8)的解可表示为 (9)
时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程和Zakharov方程组的新精确解
