27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可． 【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意； B、该几何体为圆锥，不符合题意； C、该几何体为三棱柱，符合题意； D、该几何体为圆柱，不符合题意． 故选：C．
【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大． 2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案． 【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1， ∴点B表示的数是：3． 故选：D．
【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键． 3．（3分）下列整数中，与A．3
B．4
＜
＜
最接近的整数是（ ）
C．5
D．6
【分析】由于9＜10＜16，于是可得答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16， ∴3＜
＜4，
，10与9的距离小于16与10的距离，
10与9的距离小于16与10的距离， ∴与
最接近的是3．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A．7×107
﹣
B．0.7×108
﹣C．7×108
﹣
﹣
D．7×109
﹣
【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×109； 【解答】解：0.000000007＝7×109；
﹣
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果． 【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°， 故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式． 7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ） A．x≤3
B．x≤﹣3
C．x≥3
D．x≥﹣3
【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可． 【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6， 移项，合并得﹣x≥﹣3 系数化为1，得x≤3； 故选：A．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：＝
﹣﹣
＝
＝．
故从第②步开始出现错误． 故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的数是（ ）
倍，则∠ASB的度
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷(真题试卷)
