非参数统计部分课后习题参考答案

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课后习题参考答案

第一章p23-25

2、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x2：75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的ｔ检验（假设总体均值为u）：H0：u=100 H1：u<100。第一组数据的检验结果为：df=7，t值为3.4157，单边p值为0.0056，结论为“拒绝H0：u=100。”（注意：该组均值为99.3750）；第二组数据的检验结果为：df=2，t值为3.3290，单边ｐ值为0.0398;结论为“接受H0：u=100。”（注意：该组均值为74.000）。你认为该问题的结论合理吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。 答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分）

第三章p68-71

3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）： 4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？（4分） （2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分） （3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。（8分）

解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（4分）

（2）符号检验（5分）

设假设组：H０：M＝M０＝5064

H１：M≠M０＝5064

符号检验：因为n+=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3

精确检验：二项分布b(14,0.5)，

n??0?b(14,1/2)?0.02873，双边ｐ－值为0.0576,大于ａ＝0.05，

所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝0.1，则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得ａ＝0.05的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：（5分）

np=14/2=7,npq=14/4=3.5

z=(3+0.5-7)/3.5≈-1.87>Za/2=-1.96

仍是在ａ＝0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。 （3）中位数95％的置信区间：（5064，21240）（8分）

7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。能否说该信号是纯粹随机干扰？（10分）

'.

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解：建立假设组： H0：信号是纯粹的随机干扰

H1：信号不是纯粹的随机干扰（2分）

游程检验：因为n１=42，n２=34，r=37。（2分）根据正态近似公式得：

2?42?342?42?34(2?42?34?42?34)?1?38.58　　　???18.33（2分）Ｕ＝42?342(42?34)(42?34?1)Z?37?38.58??0.086（2分）

18.33取显著性水平ａ＝0.05，则Ｚａ/２＝-1.96,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。（2分）

第四章p91-94

1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（Ａ组）和10个拥有计算器的学生（Ｂ组）对一些计算题进行了手算测试．这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如下：

Ａ组：28， 20，20，27，3，29，25，19，16，24，29，16，29 Ｂ组：40，31， 25，29，30，25，16，30，39，25

能否说Ａ组学生比Ｂ组学生算得更快？利用所学的检验来得出你的结论．（12分）

解、利用Wilcoxon两个独立样本的秩和检验或Mann-Whitney U检验法进行检验。建立假设组：H0：两组学生的快慢一致；

H1：A组学生比B组学生算得快。（2分） 两组数据混合排序（在B组数据下划线）：

3，16，16，16，19，20，20，24，25，25，25，25，27，28，29， 29， 29， 29，30， 30，31，39，40（2分）

A组秩和RA＝1+3*2+5+6.5*2+8+10.5+13+14+16.5*3=120; B组秩和RB＝3+10.5*3+16.5+19.5*2+21+22+23=156（2分） A组逆转数和UA=120-(13*14)/2=29

B组逆转数和UB=156-(10*11)/2=101（2分）

当nA=13，nB=10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算

Z??UA?nAnB/2nAnB(nA?nB?1)/12260??29?13*10/213*10*(13?10?1)/12（2分）

?36?36??2.232616.1245当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值Za/2＝-1.96（1分） 由于Z

4、在比较两种工艺（Ａ和Ｂ）所生产的产品性能时，利用超负荷破坏性实验。记下损坏前延迟的时间名次（数目越大越耐久）如下：

方法：A B B A B A B A A B A A A B A B A A A A 序： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

用Mann-Whitney秩和检验判断Ａ工艺是否比Ｂ工艺在提高耐用性方面更优良？（10分）

解、设假设组：H0：两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致；

H1：A工艺比B工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）

'.

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根据样本数据知nA=13；nB=7（1分），计算

A工艺的秩和RA＝1+4+6+8+9+11+12+13+15+17+18+19+20=153；（1分） B工艺的秩和RB＝2+3+5+7+10+14+16=57（1分）

A工艺的Mann-Whitney秩和UA=RA-nA(nA+1)/2=153-(13*14)/2=62（1分） B工艺的Mann-Whitney秩和UB=RB-nB(nB+1)/2=57-(7*8)/2=29（1分）

当nA=13，nB=7时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算

Z??UA?nAnB/2nAnB(nA?nB?1)/1216.5159.25??62?13*7/213*7*(13?7?1)/12（2分）

16.5?1.307512.6194当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值Za/2＝1.96（1分）

由于Z

第五章p118-121

2

1、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：g/cm）：

表4 15 抗拉强度 411 7 493 634 634 846 564 7 棉花纤维百分比（%） 20 1268 1057 916 1057 1127 775 25 1198 916 1480 30 98 1480 986 1127 80 35 775 775 352 564 423 试问不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度是否一样，利用Kruskall—Wallis 检验法。(14分) 解：建立假设组：

H0：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样； H1：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分） 已知，k=5，n1= n2= n3= n4= n5=8（2分）。混合排序后各观察值的秩如表4所示：

表4 15 抗拉强度 3 12.5 5.5 10 10 17.5 7.5 '.

棉花纤维百分比（%） 20 31.5 17.5 23.5 19.5 23.5 25.5 15 25 35 28 35 28 35 19.5 38.5 30 38.5 28 31.5 38.5 31.5 21.5 25.5 35 21.5 15 5.5 15 1.5 1.5 7.5 . 12.5 R nj 根据表4计算得：（6分） kR12j?H??3(N?1)?N(N?1)j?1nj210 166 8 31.5 250.5 8 38.5 253.5 8 4 71.5 8 78.5 8 1278.52?1662?250.52?253.52?71.52???3?4140?418?28.6857由于自由度k-1=5-1=4，nj＝8>5，是大样本，所以根据水平a=0.05，查Ｘ分布表得临界值C=9.488，（2分）

因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分）

7、按照一项调查，15名顾客对三种电讯服务的态度（“满意”或“不满意”）为（15分）

服务 A B C 1 消费者(爱好用“1”表示，不爱好用“0”表示) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 0 1 0 1 合计 13 8 2 23 2合计 2 1 1 2 2 2 1 2 0 解：建立假设组：H0：顾客对3种服务的态度无显著性差异；

H1：顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）

本例中，k=3，n=15。（2分）又因

?xi??yj?232222X?13?8?2?169?64?4?257?i2y?j?4?1???4?1?43?232?3(3?1)?257??3??????18.61543?23?43（5分）自由度k-1=3-1=2，（2分）取显著性水平a=0.05，查Ｘ分布表得临界值c=5.992，（2分）因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）

8、调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表1：

表1 候选人 A B C 1 1 20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0） 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 2试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别？

解：建立假设组： H0：三个候选人在村民眼中没有区别

H1：三个候选人在村民眼中有差别（2分）

'.

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数据适合用Cochran Q检验（2分）。 而且已知n=20，k=3，∑xi=∑yj ＝28。（2分） 计算结果见表3：

表3

3个候选人 A B C Yj 1 1 20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0） 1 1 0 0 1 1 1 Xi 9 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 28 根据表2计算得：

?xi2?92?82?112?266?y2j?12?22???22?48（2分）

Q?k(k?1)[?xi2?(?xi)2kk?yj??y2j228则3(3?1)(266?（2分） )3?0.7778?3?28?48取显著性水平ａ＝0.05，查卡方分布表得卡方临界值C＝5.9915，由于Q

第八章P170-171

2.下面是某车间生产的一批轴的实际直径（单位：mm）：

9.967 10.001 9.994 10.023 9.969 10.013 9.992 9.954 9.934 9.965

能否表明该尺寸服从均值为10，标准差为0.022的正态分布？(分别用K-S拟合检验和卡方拟合检验)。当n=10，a=0.05时查表得K-S拟合检验的临界值为0.40925。（24分）

解：建立假设组：H0：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布； H1：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布（2分）

首先将样本数据按升序排列，并对数据进行标准化处理，即Zi=（xi-10）/0.022（1分），并列在计算表中。

（1）K-S正态拟合检验见表1：

表1 K-S拟合检验计算表 样本数据xi (1) 9.934 9.954 9.965 9.967 9.969 9.992 '. 标准化值 Zi (2) -3.0000 -2.0909 -1.5909 -1.5000 -1.4091 -0.3636 正态区间 (3) (-∞,-3) [-3,-2.09) [-2.09,-1.59) [-1.59,-1.50) [-1.50,-1.41) [-1.41,-0.36) 正态累计概率 (4) 0.001 0.018 0.056 0.067 0.079 0.358 实际累计频率 (5) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 离差 (6)=(4)-(5) 0.001 -0.082 -0.144 -0.233 -0.321 -0.142