例 如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数． 解：∵I为△ABC的内心， ∴∠IBC=
A11∠ABC，∠ICB=∠ACB． 22BOIC∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．
∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°． 又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°
说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+
1∠A；∠BOC=4∠BIC-360°． 2例 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：BC?AB2?AC2?3
连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：
S△ABC?11(AB?BC?CA)r，又S△ABC?AC?BC． 22∴
11(AB?BC?CA)r?AC?BC， 22AC?BC4?3??1．
AB?BC?CA5?3?4∴r?答：直角三角形内切圆的半径为1．
说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．
例 （陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E． （1）求证：IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长． 证明：（1）连结BI，
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1
∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=
1（∠BAC+∠ABC）， 2 ∠IBE=∠IBC+∠EBC=
11∠ABC+∠EAC=（∠ABC+∠BAC）， 22A∴∠BIE=∠IBE ∴IE=BE
解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE， 又∵∠DBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角， ∴△ABE∽△BDE，∴
BIDECAEBE，∴BE2?AE?DE ?BEDEIE242??2． ∴IE?AE?DE，∴DE?AE82说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题．
典型例题四
已知：如图，设?ABC为Rt?，?C?90?，以AC为直径作⊙O交AB与D，设E是BC的中点，连结OD、OE，求证：DE?OD.
证明
连结CD.
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2
?AC为⊙O的直径，D在⊙O上， ?CD?AB，?ADC?90?，
又?E是BC的中点，?BDC?90?，
?CE?DE?BE， ??EDC??ECD.
?BC?AC，C是半径的外端点， ?BC是⊙O的切线，
??ECD??A ?EDC??A.
又?OD?OC，
??ODC??OCD
??A??OCD?90?， ??EDC??ODC?90?，
??ODE??EDC??ODC?90?. ?DE?OD.
说明：本题证到?EDC??A时，也可说明DE是⊙O的切线，尽而说明DE?OD.
典型例题五
例 已知：如图，在?ABC的外接圆中，D是的中点，AD交BC于点E，?ABC 的平分线交AD于点F.（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出；（2）求证：FD2?AD?ED.
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三角形的内切圆
