同济六版高等数学上册总结

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第一章 函数与极限

一. 函数的概念

1．用变上、下限积分表示的函数

（1） y??f(t)dt0x，其中f(x)连续，则，

dy?f(x)dx

（2）y??f(t)dt，其中?(x),?(x)可导，f(t)连续，则

?(x)?(x)dy?f(?(x))?'(x)?f(?(x))?'(x)dx2 两个无穷小的比较

f(x)?lg(x)设limf(x)?0,limg(x)?0且lim

，称g(x)

（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[g(x)]

是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)

3 常见的等价无穷小

当x →0时

sin x ~ x，tan x ~ x，arcsinx ~ x，arccosx ~ x 1? cos x ~ x^2/2

， ex?1 ~ x

，ln(1?x) ~ x ，(1?x)??1~ ?x

二 求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 （1）若xn?1?xn（n为整数），且xn?m，则lim极限存在）

（2）若xn?1?xn，且xn?m，则limxn?A存在（单调递增有上界，极限存在）

n??n??xn?A存在（单调递减有下界，

2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

若limg(x)?A,limh(x)?A，则limf(x)?A

3．两个重要公式