绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 制卷：王小凤 学生姓名：
一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形
asinA?bsinB?csinC?2R(R为三角形外接圆半径） 变式：（）1a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC(边化角公式） （2）sinA?ab2R,sinB?c2R,sinC?2R(角化边公式） （3）a:b:c?sinA:sinB:sinC (4)asinAasinAbb?sinB,c?sinBsinC,c?sinC 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论
b2?c2?a2cosA?a2?b2?c2?2bccosA2bc cosB?a2?c2?b2b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC2accosC?a2?b2?c22ab4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式
（1）S1?ABC?2?底?高；
（2）S=12absinC?11abc2acsinB?2bcsinA?4R?R为?ABC外接圆半径? （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论
（1）a?b?c,b?c?a,a?c?b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）在?ABC中，A?B?a?b?sinA?sinB(即大边对大角，大角对大边）
（3）在?ABC中，A?B?C??，所以 ①sin?A?B??sinC；②cos?A?B???cosC；
③tan?A?B???tanC；④sinA?BCA?2?cos2,⑤cosB2?sinC2 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） 如： ①北偏东?即由指北方向顺时针旋转?到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45?.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★） 考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 1．在VABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝ ( ) A．43 B．23 C．3 D．3
2
2．在VABC中，a2?b2?c2?3bc，则?A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150° 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3．设VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若bcosC?ccosB?asinA, 则VABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?3:5:7，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
1
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在?ABC中，若cos Ab
cos B＝a，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积 6．在?ABC中，AB?3,AC?1,?A?30?，则?ABC面积为( ) A． 32 B．
34 C．
32或3 D．334或2 7．已知?ABC的三边长a?3,b?5,c?6，则?ABC的面积为( ) A． 14 B．214 C．15 D．215 考点四：利用正余弦定理求角 8．在锐角中?ABC,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB?3b,则角A等于( ) A．
?12 B．?6 C．?4 D．?3 9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 ( ) A．无解
B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
10．在?ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC?csinBcosA?12b,且a?b,则
?B? ( ) A．
?6 B．?2?5?3 C．3 D．6
考点五：正余弦定理实际应用问题 11．如图：A，B是海面上位于东西方向相距5?3?3?海里的两个观测点，现位于A点北偏东45?，B点
北偏西60?的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60?且与B点相距203海里的C点的救援船
立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意知AB＝5(3＋3)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得DBABsin∠DAB＝sin∠ADB，
∴DB＝AB·sin∠DAB5(3sin 45°sin∠ADB＝＋3)·
sin 105°
＝
5(3＋3)·sin 45°
53(3＋1)
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝
3＋1
＝103(海里)．
2
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×1
2＝900， ∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝30
30＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时． 三、高考真题赏析
1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA?tanB)?tanAcosB?tanBcosA.（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【解析】(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA得 2?sinCcosAcosB?sinAcosAcosB?sinBcosAcosB，
所以2sinC?sinB?sinC，由正弦定理，得a+b=2c．
（Ⅱ）由cosC?a2?b2?c2(a?b)2?2ab?c23c22ab?2ab?2ab?1?3c22(a?b?1?3?1?12．22 2)所以cosC的最小值为
12． 2．（2016年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
cosAcosBsinCa?b?c. 2
（I）证明：sinAsinB?sinC； （II）若b2?c2?a2?65bc，求tanB. 【解析】（I）证明：由正弦定理
asinA?bsinB?csinC可知 原式可以化解为
cosAcossinA?BsinB?sinCsinC?1 ∵A和B为三角形内角 , ∴sinAsinB?0
则，两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA?sinAcosB?sinAsinB 由和角公式可知，sinBcosA?sinAcosB?sin?A?B??sin???C??sinC 原式得证。
（II）由题b2?c2?a2?6b2?c2?a25bc,根据余弦定理可知，cosA?2bc?35 ∵A为为三角形内角，A??0,??，sinA?0 2 则sinA?1???3?4?5???5，即cosAsinA?34 由（I）可知
cosAsinA?cosBsinB?sinCsinC?1，∴cosBsinB?1tanB?14 ∴tanB?4
3．（2016年全国I）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)?c.（I）求C；
（II）若c?7,△ABC的面积为
332，求△ABC的周长． 【解析】(1) 由正弦定理得：2cosC?sinA?cosB?sinB?cosA??sinC
2cosC?sin?A?B??sinC
∵A?B?C?π，A、B、C??0，π? ∴sin?A?B??sinC?0
∴2cosC?1，cosC?12 ∵C??0，π? ∴C?π3 ⑵ 由余弦定理得：c2?a2?b2?2ab?cosC 即 7?a2?b2?2ab?12 ∴?a?b?2?3ab?7
∵S?12ab?sinC?3334ab?2 ∴ab?6 ∴?a?b?2?18?7
a?b?5
∴△ABC周长为a?b?c?5?7 4．(2015高考新课标2)
?ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．
(Ⅰ) 求
sin?Bsin?C； (Ⅱ)若AD?1，DC?22，求BD和AC的长．
5．（2015高考四川，理19） 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：tanA1?2?cosAsinA; （2）若A?C?180o,AB?6,BC?3,CD?4,AD?5,求tanABC2?tan2?tan2?tanD2的值. DCAB
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高三复习：解三角形-知识点、题型方法归纳
