2021年新高考数学总复习讲义：积分
知识讲解
一、函数定积分
1.定义：设函数y?f(x)定义在区间[a,b]上．用分点a?x0?x1?x2??xn?1?xn?b，把
i?0，1，2，，n?1．记?为这区间[a,b]分为n个小区间，其长度依次为?xi?xi?1?xi，些小区间长度的最大值，当?趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点?i，作和式In??f(?i)?xi．
i?0n?1yy=f (x) Oabx当??0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作?af(x)dx，即?af(x)dx?lim?f(?i)?xi．其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下??0i?0bbn?1限，b叫积分上限．f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a,b]上可积．
2.曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．
b]上的根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数y?f(x)在区间[a，b定积分，即S??af(x)dx． 求曲边梯形面积的四个步骤：
b?中插入n?1各分点，将它们等分成n个小区间?xi?1，xi? 第一步：分割．在区间?a，2，?i?1，，n?，区间?xi?1，xi?的长度?xi?xi?xi?1，
第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和．
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第四步：取极限．
4.求积分与求导数互为逆运算．
?baF?(x)dx?F(b)?F(a)，即F?(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．
5.微积分基本定理
内容：如果F?(x)?f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则?af(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)?c]??f(x)，F(x)?c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a,b]上的改变量F(b)?F(a)简记作F(x)可以写成形式：?af(x)dx?F(x)bbabba，因此，微积分基本定理
?F(b)?F(a)．
6.定积分的性质
1）?babcf(x)dx?c?f(x)dx
aabb2）?f(x)dx???f(x)dx
a3）?(f(x)?g(x))dx??f(x)dx??g(x)dx
aaabbb4）?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
aacbcb5）若f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0
?aa6）若f(x)为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx
?a0aa
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经典例题
一．选择题（共12小题）
1．（2018?上饶一模）如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（ ）
2．（2018?河南一模）汽车以v=（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（ ）
3．（2018春?海珠区期末）∫?2
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0
2
A．
31C．
31B．
23D．
5
A．5m C．6m
B．
112132
?? ??
D．
√4???2dx的值是（ ）
A．4π C．π
B．2π
??D．
2
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