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22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积
01 基础题 知识点 二次函数与图形面积
1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
2．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C)
644 A. m2 B. m2 2538
C. m2 D．4 m2 3
3．(泰安中考改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，△PCQ面积的最大值为(B)
A．6 cm2 B．9 cm2 C．12 cm2 D．15 cm2
4．(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
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5．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和25的最小值是 cm2.
26．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为(20－x)，其面积为y，则 1
y＝x(20－x) 21
＝－x2＋10x
21
＝－(x－10)2＋50.
21
∵－<0，
2
∴当x＝10时，面积y值取最大，y最大＝50.
7．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 180
解：根据题意，得y＝20x(－x)．
2整理，得
y＝－20x2＋1 800x
＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500 ＝－20(x－45)2＋40 500. ∵－20＜0，
∴当x＝45时，函数有最大值，y最大＝40 500.
即当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm3.
易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合
8．(咸宁中考)用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为(D)
A．20 B．40 C．100 D．120 02 中档题
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9．(教材P52习题T7变式)(新疆中考)如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm2.
10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 1
解：(1)S＝－x2＋30x.
2
11
(2)∵S＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，
221
且－＜0，
2
∴当x＝30时，S有最大值，最大值为450.
即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.
11．(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元．设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)设计费能达到24 000元吗？为什么？
(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 解：(1)∵矩形的一边长为x米，周长为16米， ∴另一边长为(8－x)米．
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x＜8.
(2)能．理由：当设计费为24 000元时，广告牌的面积为24 000÷2 000＝12(平方米)， 即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6. ∵x＝2和x＝6在0＜x＜8内， ∴设计费能达到24 000元．
(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，0＜x＜8， ∴当x＝4时，S最大＝16.
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∴当x＝4米时，矩形的面积最大，为16平方米，设计费最多，最多是16×2 000＝32 000元．
12．(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 解：(1)BC＝69＋3－2x＝72－2x. (2)小英的说法正确．理由：
矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648， ∵72－2x＞0，∴x＜36. ∴0＜x＜36.
∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x. ∴面积最大的不是正方形． ∴小英的说法正确．
03 综合题
13．(朝阳中考)如图，正方形ABCD的边长为2 cm，△PMN是一块直角三角板(∠N＝30°)，PM＞2 cm，PM与BC均在直线l上，开始时M点与B点重合，将三角板向右平行移动，直至M点与C点重合为止．设BM＝x cm，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm2.
下列结论：
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①当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为y＝x2；
32
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②当3 33③当MN经过AB的中点时，y＝ 1 3 cm2； 2 1 ④存在x的值，使y＝S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积)． 2其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)． 第2课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点1 简单销售问题中的最大利润 1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B) A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350 2．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－值是205万元． 3．(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲＝0.3x；乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y乙＝ax2＋bx(其中a≠0，a，b为常数)，且进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y乙为2.6万元． (1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式； (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ ???a＋b＝1.4，?a＝－0.1， ?解：(1)由题意，得解得? ?4a＋2b＝2.6.?b＝1.5.?? 1 (x－60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大100 ∴y乙＝－0.1x2＋1.5x. (2)W＝y甲＋y乙＝0.3(10－t)＋(－0.1t2＋1.5t) ＝－0.1t2＋1.2t＋3＝－0.1(t－6)2＋6.6. .
人教版初中数学九年级第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数习题(3)
