第三章 微分中值定理及导数的应用
一、选择题 1. 若limsin(6x)?xf(x)6?f(x) ，则为（ ） ?0lim32x?0x?0xxA. 0 B. 6 C. 36 D. ?
2. 设在?0,1?上，f??(x)?0，则下列不等式成立的是（ ）
A. f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) B. f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) C . f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D. f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 3. 设limx?af(x)?f(a)??1，则在x?a处（ ） 2(x?a)A. f(x)的导数存在 B. f(x)取得极大值 C . f(x)取得极小值 D. f(x)的导数不存在 4． 设k为任意实数，则方程x?3x?k在[?1,1]上( )
A. 一定没有实根 B. 最多只有一个实根 C. 最多有两个互异实根 D. 最多有三个互异实根
5. 设f(x),g(x)在x0的某个去心邻域内可导，g?(x)?0，且适合limf(x)?0，
x?x03x?x0limg(x)?0,则limx?x0f(x)f'(x)??的： ??是limx?x0g'(x)g(x)A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件。
6. 设f(x)在区间(a,b)内二阶可导，x0?(a,b)，且f?(x0)?0,f??(x0)=0，则f(x)（ ）
A. 在x?x0处不取极值， 但(x0,f(x0))是其图形的拐点 B. 在x?x0处不取极值，但(x0,f(x0))可能是其图形的拐点 C. 在x?x0处可能取极值， (x0,f(x0))也可能是其图形的拐点 D. 在x?x0处不取极值(x0,f(x0))也不是其图形的拐点。
7. 设f(x)在x?0的某个邻域内可导，且f?(0)?0,limx?0f'(x)1??,则（ ） sinx2A. f(0)一定是f(x)的一个极大值； B. f(0)一定是f(x)的一个极小值 C. (0,f(0))一定是曲线y?f(x)的拐点； D. ABC都不对 8. 设f(x)在x?x0的某邻域内连续，且
f(x)??1，则（ ） lim2x?x0(x?x0)A. f?(x0)??1 B. f(x)在的某个邻域内单调递减 C. f(x0)是f(x)的极小值 D. f(x0)是f(x)的极大值
9. 设g(x)在???,???严格单调减少，f(x)在x?x0处取极大值，则g(f(x))在x?x0处（ ）
A. 取极大值 B. 取极小值
C. 一定不取极值 D. 是否取极值不能判定
10. 设f?(x)?????x???，而??x??0，?'(x)单调减少?'(x0)?0，则（ ）
2A. (x0,f(x0))是曲线f(x)的拐点； B. x?x0 为f(x)的极大值点；
C. 曲线f(x)在???,???内为凹弧； D. f(x0)为f(x)在???,???上的最小值。
二、解答题 1. 求极限
1tanx?x?sinx?1?cosx（1）x?0x?sinx （2）lim? ?x?0?x?lim（3）lime?e (4)
x?0lnsin3x?ex?x
xsinx??lim(2x?ex?3)x??1xx
(5) 用拉格朗日中值定理解 lim(x?x?x??6656x6?x5)
x?b?02. 设f(x)在有限区间(a,b)内可导，且limf(x)?limf(x)?A（A为有限值），试证
x?a?0至少存在一点?使 f?(?)?0.
3.试证：若f(x)满足条件（1）在x0点连续， （2）在x0的某去心邻域内可导， （3）
x?x0，则f?(x0)=A（或?） limf?(x)?A（或?）
4.设f(x)在区间(??,??)内连续可导，且x?a时f?(x)?1， 证明： 若f(a)?0则方程f(x)?0在(a,a?f(a))内有且仅有一个实根
5.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中
a?x1?x2?x3?b，证明：在(x1,x3)内至少存在一点?，使得f??(?)?0
6.证明下列不等式
（1） 当b?a?e时，
alna ?blnb（2） 当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2 （3） 当0?x??2时，tanx?x?13x 3337.求曲线x?acost,y?asint在t?t0相应点处的曲率。
8.设a0?a1?2?an?0，证明多项式f(x)?a0?a1x?n?1?anxn在内(0,1)至少有一
个零点.
9. 设f(x)在[0,a]上连续，在（0，a）内可导，且f(a)=f(0)?0，证明：存在一点 ξ∈（0，a），使f(?)?f?(?)?0. (令g (x) = ex f (x) )
三、选作题
1. 设函数f(x)具有二阶导数，且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2，求limx?0f(x)?x. x2(b,f(b))两点的直线和曲线2. 设在上连续，在(a,b)内二阶可导，若连接(a,f(a))、y?f(x)相交于(c,f(c))(a?c?b)点，证明f??(x)?0在至少有一个实根。
3. 设f(x)在?a,b?上连续，(a,b) 内除仅有的一点外都可导，证明存在c,d?(a,b)且k?(0,1) 使得
f(b)?f(a)?(b?a)(kf?(c)?(1?k)f?(d))
证明：设x=m是f(x)在(a,b)内唯一不可导的点，在［a,m］和［m,b］上分别用拉格朗日定理，
知存在c,d∈(a,b),使得 f(m)-f(a)=f′(c)(m-a) , f(b)-f(m)=f′(d)(b-m) , 两式相加，
f(b)-f(a)=f′(c)(m-a)+f′(d)(b-m)，
两边除b-a，得
f(b)?f(a)m?ab?m?f?(c)?f?(d)
b?ab?ab?am?a令k?，显然0 b?a4. 设f(x)在[0,a]上可导，且b?a?4，证明存在一点??(a,b)，使 f?(?)?1?f2(?). 证明：设g(x)=arctanf(x)，则由拉格朗日定理知，存在ξ∈(a,b)，使得 arctanf(b)?arctanf(a)?又因 ?f?(?)(b?a) 1?f2(?)?2?arctanf(x)??2 所以 arctanf(b)?arctanf(a)?? 又由已知b?a?4，得 f?(?)? 5. ?4(1?f2(?))?1?f2(?) 设f??(x)?0,f(0)?0, 证明：x1?0,x2?0, 都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) 注：其他题目课上都讲过！
高数阶段练习第三章参考答案
