山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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一、选择题
1.已知集合A?{x|log2(x?1)?1},B?{x|x?a?2}，若A?B，则实数a取值范围为( ) A．(1,3)
B．[1,3]
C．[1,??)
D．(??,3]
2.若复数z满足z?3?i?1(i为虚数单位)，则复数z的最大值为( ) A．1
0.1B．2 C．3 D．3?1
2???3.已知a??tan?，b?log32
5??3π??，c?log2?cos?，则( )
7??A．a?b?c B．b?a?c C．c>a>b D．a?c?b 的图象的是( )
4.下列图象中，不可能是函数
A． B． C． D．
5.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示．金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数．所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x为某某”．如图2所示的天元式表示方程
，其中，
a1,L,an?1,an表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记
一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂．
试根据上述数学史料，判断图3所示的天元式表示的方程是( ) A．C．
B．D．
6.执行如图所示的程序框图，输出结果( )
A．-50 B．-60 C．-72 D．60
7.已知单位向量a,b的夹角为θ，且tan??A．
B．
71，若向量m?5a?3b，则m=( ) 2 C． D．或26
b??8.已知?2x?a??x??的展开式中的系数是42，则常数a,b应当满足的条件是( )
x??A．a?R,b?1 B．a?R,b??1 C．a?R,b??1 D．a?1,b?R
9.已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是（ ） ππ??A．?2kπ-,2kπ??(k?Z)
66??2π?C．?2kπ?,2kπ?3?π?(k?Z) 3??π2π??B．?2kπ?,2kπ??(k?Z)
33??π5π??D． ?2kπ?,2kπ??(k?Z)
66??x2y210.已知M为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右支上一点，A,F分别为双曲线C的左顶点和右
ab焦点，线段FA的垂直平分线过点M,?MFA?60?，则C的离心率为( ) A．6
B．4
满足
34C．3 D．2
．若对
11.设定义在R上的函数任意
，且当x???1,0?时，
恒成立，则实数λ的最小值是（ ）
，不等式f?x??A．?17 8
9B．?
4 C．?11 4 D．?23 8
二、填空题 12.已知数列
是等差数列，是其前n项和．若a3a6?a9?3,S11?22，则=_____.
13.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y?f(x?1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)?x3，
?5?则f??__________.
?2?14.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢3局时获胜，比赛结束）．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为
2，执黑棋时3取胜的概率为
1，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以23:2获胜的概率为________．
15.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五面体ABCDEF是一个羡除，两个梯形侧面ABCD与CDEF相互垂直，CDEF的高分别为
．若AB?1,EF?2,CD?3,梯形ABCD与
________；由此归纳出求羡除体积的一般
和，则该羡除的体积
公式为________．
三、解答题
16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinAsinB?cos(c?3b)sinC?(a?b)(sinA?sinB)．
2C，2（1）求?A和?B的大小；
（2）若△ABC的面积为3，求BC边上中线AM的长．
17.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1?BC1?2,?A1CA?30?,BC?6．
B1C1BC
A1A（1）求证：平面ABC1?平面AA1C1C； （2）求二面角B1?AC1?C的余弦值．
18.甲、乙两名运动员共参加3次百米赛跑预赛，赢2次以上者（包含2次）获得决赛资格．每次
预赛通过摸球的方法决定赛道，规则如下：裁判员从装有n个红球和2个白球的口袋中不
放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲在第一赛道，否则乙在第一赛道（每次赛道确定后，再将取出的两个球放回袋中）．假设甲获得决赛资格的概率为，每次预赛结果互相独立，且
无相同成绩．
（1）当口袋中放入红球的个数n为多少时，3次比赛中甲恰有2次在第一赛道的概率最大; （2）若在3次比赛中，运动员每赢一次记1分，否则记-1分，求甲得分X的分布列和数学期望．
x2y219.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)aba2到右准线x?c的右焦点为F，半焦距，点F的距离为
1，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD，设AB,CD2的中点分别为M,N． （1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明： 直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 121320.已知函数f(x)?lnx?ax?x?．
424（1）当a??1时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，且x1?x2，证明：
f(x1)?f(x2)1?2a?．
x1?x24??x?2cos?(?为参数)，直线l的参数方21.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?y?3sin????x?m?2t(t为参数)． 程为?y?1?t?（1）若，求曲线C与直线l的两个交点之间的距离；
，求m的值．
（2）若曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.已知f(x)?x?1?ax?a?1．
（1）当a?1时，求不等式f(x)≥3的解集；
（2）若x≥1时，不等式f(x)≥x?2恒成立，求a的取值范围．
四、证明题
23.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， …．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， …）．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总
共球的个数为( )
A．55 B．220 C．285 D．385
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