3.7 正弦定理和余弦定理的应用
[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68海里的 M 处， 下午 2时到达这座灯塔的东南方向的 N 处．则这只船的航行速度为( )
17 6 A. 海里/时
2 17 2 C. 海里/时
2
解析：如图，在△PMN 中
B．34 6 海里/时
D．34 2 海里/时
＝
sin45° sin120°
PM MN
，
68· 3 ∴MN＝ ＝34 6，
2 ∴v＝ ＝ (海里/时)．
4 2 答案：A
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对 岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间 为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
MN 17 6
A．8 km/h C．2 34 km/h
B．6 2 km/h D．10 km/h
解析：设 AB 与河岸线所成的角为 θ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知 sinθ＝ 0.6 3 10
10
4
2
1
10
1 × 2
2
2
1
5
4
＝ ，从而 cosθ＝5，所以由余弦定理得
( v )＝(
5
)＋1－2× ×2×1× ，解 1
得 v＝6 2.
答案：B
3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的 同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后， 就可以计算出 A，B 两点的距离为( )
1
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m 25 2 D． m
2
AB AC 解析：由题意，得 B＝30°.由正弦定理，得 ＝ ，∴AB＝ sin∠ACB sinB
2
50 ×
2
＝50 2(m)．故选 A. 1 2
答案：A
AC·sin∠ACB ＝
sinB
4．某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔顶仰角为 45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为( )
A．15米 C．10米
B．5米 D．1米
解析：如图所示，设塔高为 h，在 Rt△AOC 中，∠ACO＝45°，则 OC＝OA＝h.
在 Rt△AOD 中，∠ADO＝30°，则 OD＝ 3h，在△OCD 中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦 定理得 OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即( 3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－ 50＝0，解得 h＝10或 h＝－5(舍去)．
答案：C
5．有一长为 1千米的斜坡，它的倾斜角为 20°，现要将倾斜角改为 10°，则斜坡长为( ) A．1千米 C．2cos10°千米
B．2sin10°千米 D．cos20°千米
解析：由题意知 DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，
∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160° ＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos210°，
2
∴BD＝2cos10°. 答案：C
6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB＝( )
A．5 6 B．15 3 C．5 2
D．15 6
解析：在△BCD 中，∠CBD＝180°－45°＝135°. BC 30
由正弦定理得 sin30° sin135°＝
，所以 BC＝15 2.
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6.故选 D. 答案：D
7．在 200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为( A. 400 3 m B．400 3 3 m
C. 200 3 3
m D．200 3
m
解析：如图所示，在 Rt△BAC 中，∠ABC＝30°，AB＝200，
∴ BC＝cos30° AB 400 ＝3 3. ∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°， ∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°. 在 △BDC 中，DC BC sin30° sin120°＝ . 400 1
∴ DC＝BC ·sin30° 3 3 ×2
400 sin120° ＝ 3 ＝3
(m)．
2
) 3
2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7正弦定理和余弦定理的应用课时跟踪检测理201
