考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）
*1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{an }共有2k项（2≤k且k∈N），数列{an }的前n项的和为Sn，
满足a1=2，an?1 =（p－1）Sn+2（n=1，2，3，…，2n－1），其中常数p＞1 （1）求证：数列{an }是等比数列； （2）若p=222k?1，数列{bn }满足bn?1（n=1，2，…，2n），求数列{bn }的通项公式 log2（a1a2?an）
n32（3）对于（2）中的数列{ bn}，记cn?|bn－|，求数列{cn }的前2k项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．
【解】（1）证明：当n=1时，a2 =2p，则
a2?p， a1（p－1）Sn?2，an?（p－1）Sn-1?2， 当2≤n时，an?1?（p－1）an，即an?1?pan， ∴an?1－an?∴
an?1?p， an故数列{an }是等比数列．
n?1（2）由（1），得an?2p（n=1，2，…，2n），
∴a1a2?an?2pn1?2?3???n?1?2pn(n?1)n2
?22=
n2(n?1)n?2k?12?2n?(n?1)n2k?1，
1(n?1)n(n?) n2k?1(n?1)=（n=1，2，…，2n）， ?1，2k?1(n?1)即数列{bn}的通项公式为bn?（n=1，2，…，2n）． ?1，
2k?1331（3）cn?|bn?|，设bn?，解得n≤k?，
22233又n为正整数，于是：当n≤k时，bn＜；当n≥k+1时，bn＞，
22∴数列{cn }的前2k项的和：
k2?． 2k?122．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{an }的前n项和记为Sn，且Sn?n?3n?4．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?an25bT，记数列{ }的前n项和记为，，求证：. ≤T＜nnnn336【考点】错位相减法求和
【解】（1）当n=1时，a1?2，当n≥2时，an?Sn?Sn?1?2n?4，故an???2,n?1，
?2n?4,n≥24?2,n?1an?220n2??3（2）bn?n??，其中T1?，当n≥2时，Tn??2?...?n2n?433333?,n?2??3n①，
1202n?422222n?4Tn?2?3?...?n?1②，∴①－②得，Tn??2?3?...?n?1， 33333333352n?125b≥0∴Tn??，由于，∴． ≤T＜(n≥2)nn62?3n362?n3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列?an?中，a1?1，二次函数f(x)?an?x?(2?an?1)?x的
12对称轴为x=
1， 2（1）试证明2nan是等差数列，并求?an?的通项公式；
（2）设?an?的前n项和为Sn，试求使得Sn＜3成立的n的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数f(x)???11an?x2?(2?n?an?1)?x的对称轴为x=， 222?n?an?1111??a?a?∴an≠0，，整理得， 12n?1n2?an22n2左右两边同时乘以2n?1，得2n?1an?1?2nan?2，即2n?1an?1?2nan?2 (常数)，
∴2an是以2为首项，2为公差的等差数列，
n∴2an?2?2(n?1)?2n，
?n?2nn?． 2n2n?1123n?1n（2）∵ Sn?0?1?2?...?n?2?n?1， ①
222221123n?1n Sn? 1?2?3...?n?1?n， ②
222222∴an?1n11111nn2S?1???...????①-②得：， n22122232n?12n1?12n2n?2整理得 Sn?4?n?1．
2n?3n?2n?1∵ Sn?1?Sn?4?n?(4?n?1)?n＞0，
2221?∴ 数列{Sn }是单调递增数列． ∴ 要使Sn＜3成立，即使4?∴ n=1，2，3．
n?2＜3，整理得n+2>2n?1， n?124．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{an }的前n项之和为Sn，且Sn＝(∈N成立．
（1）求常数k的值以及数列{an}的通项公式；
*
an?k2)对n2?akn，?，恰成等比数列，其中k1＝2，,k3＝14，求（2）设数列{an}中的部分项ak1，ak2，ak3，a1k1＋a2k2＋?＋ankn的值．
【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】（1）法一：条件化为2Sn＝an＋k对n∈N*成立． 设等差数列公差为d，则2na1?n(n?1)d＝a1＋(n－1)d＋k． 2?2a1?a1?k①??分别令n＝1，2，3得：?22a1?d?a1?d?k②
???23a1?3d?a1?2d?k③由①＋③－2?②得，a1?3a1?3d?22a1?d．两边平方得，4a1＋d＝23a1?3a1d．
22两边再平方得，4a1－4a1d＋d＝0．解得d＝2a1．
2代入②得，4a1＝3a1＋k，④
由④－①得，a1＝a1．所以a1＝0，或a1＝1． 又当a1＝0时，d＝0不合题意．所以a1＝1，d＝2． 代入①得k＝1．
数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)
