8.2.1 两角和与差的余弦
(教师独具内容)
课程标准：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换．
教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用． 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.
【知识导学】
知识点一 两角和与差的余弦公式
01cosαcosβ＋sinαsinβ；两角和的余弦公式：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝□02cosαcosβ－sinαsinβ.两角α，cos(α＋β)＝□β的差(或和)的余弦公式右端是两角α，03和(或差)． β的余弦之积与正弦之积的□01α；2α＝(α＋β)＋□02(α－β)，知识点二 角的变换：β＝(α＋β)－□α＋β2
＝
?α－β?－□?α－β?. 03
???2?2????
【新知拓展】
1．两角和与差的余弦公式的结构特征
即公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
2．公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos?
?α＋β－α－β?中的“α＋β”相当于公式中的角“α”，“α－β”相当于公式中的
?2?22?2
3．“给角求值”“给值求值”问题
“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，
角“β”．因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．
借助角之间的联系寻找转化方法．
4．解决“给值求角”问题的注意点
“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角
?π?的范围是?0，?，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为
?2????－π2，π2???
，选正弦较好．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于任意的实数α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立．( (2)对任意的α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( ) (3)cos???α＋π4???cos??π?4－α???－sin???α＋π4???sin??π?4－α???＝cos2α.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做
(1)cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为( ) A．－32
B.32 C.2
D．－
22 2
(2)下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos??π?2＋α???＝sinα； ③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. A．0 B．1 C．2
D．3
(3)①cos165°＝________；
②若α∈???0，π2???，sinα＝35，则 2cos??π?α＋4???＝________.
答案 (1)B (2)A (3)①－
6＋24 ②1
5
)
题型一 给角求值 例1 求下列各式的值：
?43π?；(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°； (1)cos?－??12?
(3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°.
?43π?＝cos5π＝cos?π＋π?＝cosπcosπ－sinπsinπ＝2×3－
[解] (1)cos?－??46?12464622?12???
216－2×＝. 224
(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝(3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°
＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°) ＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47° ＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43° 1
＝cos(17°＋43°)＝cos60°＝.
2金版点睛
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°＝45°－30°或15°＝60°－45°)，直接应用公式求值．
(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．
[跟踪训练1] 求值： (1)cos105°＋sin195°；
(2)cos(x＋27°)·cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x)． 解 (1)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝2cos105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos135°·cos30°＋sin135°·sin30°) ＝2×?－
3
. 2
??2－62321?
. ×＋×?＝22222?
(2)cos(x＋27°)·cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x)
＝cos[(x＋27°)＋(18°－x)] ＝cos45°＝
2. 2
题型二 给值求值 例2 已知α，β∈?
?3π，π?，sin(α＋β)＝－3，
?5?4?
π?12π???sin?β－?＝，求cos?α＋?的值．
4?134???
3πππ3π
[解] 由条件，得<α＋β<2π，<β－<，
2244π?45?∴cos(α＋β)＝，cos?β－?＝－，
4?513?π???∴cos?α＋?＝cos?4???
α＋β－?β－??＝cos(α＋β)·cos?β－?＋sin(α＋
44
??
π??
??
??
π?
?
β)sin?β－?＝×?－?＋?－?×＝－. 4135
??
π?4?5
??
5??3???
12?13
5665
金版点睛
给值求值的解题步骤
(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．
(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)
1
＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
2
(3)求解．结合公式Cα±β求解便可．
π5π?3π[跟踪训练2] 已知sin??6＋α?＝5，3<α<6，则cosα的值是( ) ??A.3－43
1023－3
5
4－33B.
103－23D.
5
12
C.
答案 A
π5πππ
解析 ∵<α<，∴<＋α<π.
3626
?π?∴cos?＋α?＝－?6?4?2?π
1－sin?＋α?＝－.
5?6?
433??π?π??π?π?π?π
∴cosα＝cos??＋α?－?＝cos?＋α?cos＋sin?＋α?sin＝－×＋
66525?6??6??6???613－43
×＝. 210
题型三 给值求角
4353例3 已知α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值及β的大
714小．
43
[解] ∵α为锐角，且sinα＝，
7∴cosα＝1－sinα＝
2
1－?
?43?21
?＝. ?7?7
又∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 53?π?∵sin(α＋β)＝ 11?53?2 ?＝－14. ?14? 2 α＋β ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα ?11?153×43＝1. ＝?－?×＋72?14?714 π 又∵β为锐角，∴β＝. 3金版点睛 解答给值求角问题的步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角所在的范围． (3)根据角的范围写出所求的角． [跟踪训练3] 已知A，B均为钝角且sinA＝答案 7π 4 510，sinB＝， 510 510 ，sinB＝，则A＋B的大小为________． 510 解析 ∵A，B均为钝角且sinA＝
新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦教案新人教B版
