2011——2016年河南中考数学第22题解析
22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，
A且BC=a,AB=b。
填空：当点A位于 时线段AC的长取得最大值，且最大值为
a（用含a，b的式子表示） （2）应用
B图1b点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC
为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由 ②直接写出线段BE长的最大值.
A（3）拓展
D如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标0
为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90.
B请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。 图2CECyMAOP图3
yBxOABx备用图
解：（1）CB的延长线上，a+b；………………………………………2分 （2）①DC=BE,理由如下
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
0
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分 ∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE ………………………………6分 ②BE长的最大值是4. …………………………………………………8分 （3）AM的最大值为3+22，点P的坐标为（2-2，2）……10分
【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，∴AM=NB=AB+AN=3+22; 过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=2,又A（2，0）∴P（2-2，2）
yMAOPN图3
MyBxPNOEA备用图Bx
0
22.（10分）（2015河南））如图1，在Rt△ABC中，∠B=90，BC=2AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现
AEAE00
①当α=0时，BD= ；②当α=180时，BD= .
（2）拓展探究
AE00
试判断：当0≤α≤360时，BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.
AEBDCABEDA图1图2谷瑞林制图CB备用图C
5解：（1）①2 …………………………………………1分 5②2…………………………………………………2分
228?4 提示：①当α=0时，在Rt△ABC中，BC=2AB=8,∴AB=4；AC==45
0
又点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
AECECA455???8=2 ∴BDCDCB②当α=180时，∴CE∥AB, ∴AE=45+25=65 ∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12
0
AAE655?12=2 ∴BD（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣
分）…………………………3分
在图1中，∵点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
B图3CDECECD?CACB,∠EDC=∠B=900; ∴
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
CECD?CACB仍然成立。…………………………………………………………4分 ∴
又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE∽△BCD，∴
AEAC?BDBC………………………6分
在Rt△ABC中，AC=8?4=45，
22ADE5AEAC45?∴BDBC=8=2。
BAE∴BD的大小不变。………………………8分 125（3）45或5………………………10分
提示：如图4，当△EDC在BC上方，
且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=45；
如图5，当△EDC在BC下方，且A、D、E 三点共线时，△ADC是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,
A图4CEBD图5EDCAE5125?2,得BD=5 根据BD
22.（10分）（2014河南）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB的度数为 ；（2）线段AD、BE之间的数量关系是 。 （2）拓展探究
0
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90, 点A、D、E在同一直
线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。 （3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,
且∠BPD=90，请直接写出点A到BP的距离。
22. （1）①60；②AD=BE. ……………………………………………………………2分
0
（2）∠AEB＝90；AE=2CM+BE. ………………………………………………4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
0
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE. ………………………………………………………………6分
0
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=135.
000
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135－45=90．…………………………………7分 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分 (3)0
3?13?1或…………………………………………………………10分 220
【提示】PD =1，∠BPD=90,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．
/
第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P，
//
可证△APD≌△APB,PD=PB=1, CD=2,∴BD=2,BP=3,∴AM=
1/13?1/
PP=(PB-BP)= 222
第二种情况如图②，可得AM
1/13?1/
PP=(PB+BP)= 222
22.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________. （2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想. B B(E) B D M N
E D
A C
A C A(DC ) E 图3 图1 图2
A （3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.
D 若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，
请直接写出相应的BF的长. ．．．．
C E B 【解析】
图4 试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是
等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60o,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30o角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;
(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用\角角边\证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明; 试题解析：
（1）①线段DE与AC的位置关系是平行 ．②S1与S2的数量关系是相等．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC， ∴DN=CF,DN=EM． ∴CF=EM． 图2 ∵∠ACB=90o,∠B=30o，
——河南中考数学第题解析
