福州市2019-2020年九年级上期末质量检测数学试卷及答案
—学年度第一学期九年级期末质量检测
数 学 试 卷
(满分150分；考试时间120分钟)
一、选择题(共10小题，每小题4分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)
1．下列根式中，不是最简二次根式的是 A．10 B．8 C．6 D．2
2．下列图形依次是圆、正方形、平行四边形、正三角形，其中不是中心对称图形的是
C D A B
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，则∠BOC的度数是 A．100° B．80° C．50° D．40° 4．下列事件中，为必然事件的是
A．购买一张彩票，一定中奖 B．打开电视，正在播放广告
C．一个袋中只有装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球 D．抛掷一枚硬币，正面向上
5．用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 6．方程x2＝x的解是
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝－1，x2＝0
7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是
A．y＝(x－2)2＋2 B．y＝(x―2)2―2 C．y＝(x＋2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2 8．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的一个根，则m＋n的值是 A．－3 B．－1 C．1 D．3
9．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2－6x＋5＝0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点A(4a＋2b＋c，abc)在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
y A C 陆地 A 108° O D
x O 海洋 C B O x＝1 第14题图 第10题图 第3题图 第5题图
B
1 / 8
二、填空题(共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置) 11．使x－1有意义的x的取值范围是_______________．
12．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字为6的概率是______________．
13．如果关于x的方程x2－2x＋k＝0(k为常数)有两个相等的实数根，则k＝_________．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的⌒AB)，点O是这段弧的圆心，C是⌒AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝160m，CD＝40m，则这段弯路的半径是___________m．
15．已知二次函数y＝―x2―4x＋3，则y的最大值是____________；x＋y的最大值是____________．
三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑)
16．计算：(每小题7分，共14分)
x 1 (1) 8×12×18÷27； (2) 9x＋6－2x．
4x
17．(本题15分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，1)，B(0，1)，C(0，3)，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．
y (1) 画出△A1B1C1；
(2) 直接写出△A1B1C1各顶点坐标；
C (3) 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C、B1、C1，求二次函
数的解析式；
B A (4) 请在右边的平面直角坐标系中画出(3)的二次函数y＝ax2＋bx＋
O c的图象． x … … 2 y＝ax＋bx＋c … …
18．(本题12分)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x与y的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．
(1) 若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
(2) 若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由． 19．(本题10分)据媒体报道，某年旅游纯收入约2000万元，年旅游纯收入约2880万元，若年、年旅游纯收入逐年递增，请解答下列问题：
(1) 求这两年该旅游纯收入的年平均增长率；
(2) 如果今后两年仍保持相同的年平均增长率，请你预测到年该旅游纯收入约多少万元？
20．(本题12分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长
C 线交于点P，且∠A＝∠PCB．
(1) 求证：PC是⊙O的切线； (2) 若CA＝CP，PB＝1，求⌒BC的弧长．
A x
O B P 第20题图
2 / 8
21．(本题13分)在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．
(1) 如图①，当PD⊥AC时，则DC＋CE的值是____________．
(2) 如图②，当PD与AC不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3) 如图③，在∠DPE内作∠MPN＝45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
A A A
P P P D
D D
M
B C C B B N E C E E
第21题图③ 第21题图② 第21题图①
22．(本题14分)如图，抛物线y＝x2－4x＋1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1) 求点A、B的坐标及线段AB的长； (2) 求△ABC的外接圆⊙D的半径；
(3) 若(2)中的⊙D交抛物线的对称轴于M、N两点(点M在点N的上方)，在对称轴右边的抛物线上有一动点P，连接PM、PN、PC，线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN(指圆弧⌒MCN和线段PM、PN组成的图形)分成两部分，当这两部分面积之差等于4时，求出点P的坐标．
y y
C C
O A B x O A B x 第22题图① 第22题图②
3 / 8
福州市—学年第一学期九年级期末质量检测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 二、填空题(每小题4分，共20分)：
1 21
11．x≥1 12． 13．1 14．100 15．7；(正确一个得2分)
64
三、解答题：(满分90分) 16．(每小题7分，共14分)
解：(1) 8×12×18÷27
＝22×23×32÷33 ……………………………………………………………4分 ＝8． ……………………………………………………………………………………7分
4 / 8
x 1 －2x 4x
＝3x＋3x－2x ……………………………………………………………………6(2) 9x＋6分
＝
4x． …………………………………………………………………………………7分
17．解：(1) △A1B1C1如右下图； ………………………………………………………………3分
(2) A1(1，3)，B1(1，0)，C1(3，0)； …………………………………………………
6分
(3) 由抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点C、B1、C1，可得：
??c＝3
?a＋b＋c＝0， ………………………………………………………………9??9a＋3b＋c＝0
分
??a＝1y y＝x2－4x＋3 解得：?b＝－4， …………………………………10分
A1 ?c＝3?
C ∴抛物线的解析式为：y＝x2－4x＋3． ……………11分 (答案用一般式或顶点式表示，否则扣2分)
B A (4) 表格填写合理正确得2分，图像正确得2分． C1 x O B1 x 0 1 2 3 4 … … 3 0 －1 0 3 y＝x2－4x＋3 … … 2二次函数y＝x－4x＋3的图像如右图． 18．解：(1) 列树状图如下：
小明 2 1 3 5
……………
5 1 1 3 小强 3 5 2 2 2 3 5 1 …3分
由树状图可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x与y的积为偶数有6种． …………………………………………………………………………………4分
6 1
∴小明获胜的概率P(x与y的积为偶数)＝＝． ………………………………6
12 2
分
(2) 列树状图如下： 小明 1 2 3 5
…………
小强 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 …9分
由树状图可知，所有可能出现的结果共16种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x与y的积为偶数有7种． ……………………………………………………………………………10分
7 1
∴小明获胜的概率P(x与y的积为偶数)＝＜， ……………………………11
16 2
5 / 8
分
79
≠也可) 16 16
∴游戏规则不公平． ……………………………………………………………………12分
19．解：(1) 设这两年该旅游纯收入的年平均增长率为x．根据题意得： ………………1分
2000(1＋x)2＝2880． …………………………………………………………4
分
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2 (不合题意，舍
去)． ………………………6分
答：这两年该旅游纯收入的年平均增长率为20%． ………………………7
分
(2) 如果到2015年仍保持相同的年平均增长率，
则2015年该旅游纯收入为 2880(1＋0.2)2＝4147.2(万元)． ………………………9分
答：预测2015年该旅游纯收入约4147.2万元． ………………………10分 20．解：(1) 连接OC． …………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径， C ∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°． ………2分 ∵OA＝OC，
A ∴∠A＝∠ACO， ………………………………3分 B O ∵∠A＝∠PCB，
∴∠ACO＝∠PCB． ………………………………4分 ∴∠PCB＋∠OCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°． ∴PC⊥OC． ………………………………5分 又∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线． ………………………………6分
(2) ∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P， ………………………………………7分 ∴∠PCB＝∠A＝∠P．
∴BC＝BP＝1． ………………………………………8分 ∴∠CBO＝∠P＋∠PCB＝2∠PCB． 又∵∠COB＝2∠A＝2∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO， …………………………………9分 ∴BC＝OC． 又∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝BC＝1，即△OBC为等边三角形． ……10分 ∴∠COB＝60°． ………………………………11分
1×60π 1
∴l⌒＝π． ……………………………12分 BC＝1803
21．解：(1) DC＋CE＝2； …………………………………3分
(2) 结论成立.连接PC，如图． …………………………4分 A ∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
1
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°．
2P ∴∠ACP＝∠B＝45°，∠CPB＝90°． …………………5分
(或证明
D
P
6 / 8
C
E
B
∴∠BPE＝90°－∠CPE． 又∵∠DPC＝90°－∠CPE，
∴∠DPC＝∠EPB． ………………………………6分 ∴△PCD≌△PBE．
∴DC＝EB， …………………………………………7分 ∴DC＋CE＝EB＋CE＝BC＝2． ……………………8分
A (3) △CMN的周长为定值，且周长为2． …………9分
在EB上截取EF＝DM，如图， …………………10分 由(2)可知：PD＝PE，∠PDC＝∠PEB，
P ∴△PDM≌△PEF， ………………………………11分
∴∠DPM＝∠EPF，PM＝PF． D ∵∠NPF＝∠NPE＋∠EPF＝∠NPE＋∠DPM M
＝∠DPE－∠MPN B C N E F ＝45°＝∠NPM．
∴△PMN≌△PFN，
∴MN＝NF． ……………………………………………12分 ∴MC＋CN＋NM＝MC＋CN＋NE＋EF
＝MC＋CE＋DM ＝DC＋CE ＝2．
∴△CMN的周长是2． …………………………………13分 22．解：(1) 令y＝0，得：x2－4x＋1＝0， …………………1分
y 解得：x1＝2＋3，x2＝2－3． …………………3分
∴点A的坐标为(2－3，0)，点B的坐标为(2＋3，0)． …4分 ∴AB的长为23． ………………………………5分 (由韦达定理求出AB也可)
D C (2) 由已知得点C的坐标为(0，1)，
由y＝x2－4x＋1＝(x―2)2―3， x O A B 可知抛物线的对称轴为直线x＝2， ……………………6分 设△ABC的外接圆圆心D的坐标为(2，n)，连接AD、CD，
∴DC＝DA，即22＋(n－1)2＝[2―(2―3)]2＋n2，……………8分 解得：n＝1， …………………………………………9分 ∴点D的坐标为(2，1)，
∴△ABC的外接圆⊙D半径为2． ……………………10分 (3) 解法一：由(2)知，C是弧MN的中点．
在半径DN上截取EN＝ MG， ……………………11分 又∵DM＝DN，∴DG＝DE．
则点G与点E关于点D对称，连接CD、CE、PD、PE．由圆的对称性可得：图形PMC的面积与图形PECN的面积相等． …………………………………………12分 由PC把图形PMCN(指圆弧⌒MCN和线段PM、PN组成的图形)分成两部分，这两部分面积之差为4．可知△PCE的面积为4．设点P坐标为(m，n) y 1
M ∴S△CEP＝2S△CDP＝2×·CD·n－1＝4，
2
∴n1＝3，n2＝－1． ……………………………………13分
G 由点P在抛物线y＝x2－4x＋1上，得：
C D x2－4x＋1＝3，解得：x1＝2＋6，x2＝2－6(舍去)；
O A E N P B x 7 / 8
或x2－4x＋1＝－1，解得：x3＝2＋2，x4＝2－2(舍去)．
∴点P的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6，3)． ……………14分 解法二：
设点P坐标为(m，n)，点G坐标为(2，c)，直线PC的解析式为y＝kx＋b，
??k＝ n－1 ?b＝1
m， 得：?，解得：?
?n＝km＋b??b＝1
y n－1
∴直线PC的解析式为y＝x＋1． …………………11分
m
2(n－1)
当x＝2时，c＝＋1．
m
C 由(2)知，C是弧MN的中点，
连接CD， 图形PCN的面积与图形PMC的面积差为： ＝S扇形DCN＋S△GCD＋S△PGN－(S扇形MCD－S△GCD＋S△PMG) ＝2S△GCD＋S△PGN－S△PMG
111
＝2××2(c－1)＋(1＋c)(m―2)―(3―c)(m―2)
2 2 2 1
＝2(c－1)＋(2c―2)(m―2)
2 ＝(c－1)(2＋m―2) 2(c－1) ＝[＋1―1]m
m＝2(n－1)＝4．
∴n1＝3，n2＝－1． ……………………………………13分 由点P在抛物线y＝x2－4x＋1上，得：
x2－4x＋1＝3，解得：x1＝2＋6，x2＝2－6(舍去)；
或x2－4x＋1＝－1，解得：x3＝2＋2，x4＝2－2(舍去)．
∴点P的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6，3)． ……………14分
M G D B N P O A x 8 / 8
福州市2019-2020年九年级上期末质量检测数学试卷及答案
