2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案
自主学习导引
真题感悟
1．(xx·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．
若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件． 答案 A
2．(xx·福建)直线x＋3y－2＝0与圆x＋y＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于 A．25
B．23
C.3
D．1
2
2
解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x＋3y－2＝0|0＋3×0－2|
的距离d＝＝1，半径r＝2， 22
1＋3
∴弦长|AB|＝2r－d＝22－1＝23. 答案 B
考题分析
圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．
网络构建
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高频考点突破
考点一：直线方程及位置关系问题
【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．
[规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.
当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合， 所以a＝1不满足题意，即a＝0.
所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件． [答案] C 【规律总结】
直线与直线位置关系的判断方法
(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2?k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.
(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2?k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．
(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．
[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】
1．(xx·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
解析 由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案 A
2．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平→
分线上，且|OC|＝10，则点C的坐标是________．
解析 设C(a，b)(a＜0，b＜0)．
OB所在直线方程为4x－3y＝0，
|4a－3b|?＝|a|，?
5则???a2＋b2＝10，∴C(－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程
【例2】(xx·镇江模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的
916方程是________．
[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．
[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，
4
即为圆心，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
3即4x±3y＝0，∴r＝
|4×5±3×0|4＋±3
2
2
2
2
??a＝－1，解得?
?b＝－3.?
x2y2
＝4，
∴所求圆的方程为(x－5)＋y＝16. [答案] (x－5)2＋y2＝16 【规律总结】
圆的方程的求法
(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r＝d＋?
2
2
?|AB|?2等．
??2?
(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．
【变式训练】
3．(xx·徐州模拟)若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
|a＋2×0|
解析 设圆心为(a,0)(a＜0)，则r＝＝2， 22
1＋1解得a＝－2， 即(x＋2)＋y＝2. 答案 (x＋2)2＋y2＝2 考点三：直线与圆的位置关系
【例3】(xx·临沂一模)直线l过点(4,0)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为________．
[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．
[规范解答] 圆心坐标为M(1,2)，半径r＝5，因为|AB|＝8，所以圆心到直线l的距离d2222
＝r－4＝5－4＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k，则直线方程y＝k(x－4)，即kx|k－2－4k||2＋3k|5
－y－4k＝0，圆心到直线的距离为d＝＝＝3，解得k＝，所以直线方程22
121＋k1＋k5
为y＝(x－4)，即5x－12y－20＝0.综上满足条件的直线方程为5x－12y－20＝0或x＝4.
12
答案 5x－12y－20＝0或x＝4 【规律总结】
求圆的弦长的方法
(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；
(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到的方程的两根为x1、x2，则弦长d＝1＋k|x1－x2|；
(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．
【变式训练】
22
4．(xx·肇庆二模)从点P(m,3)向圆C：(x＋2)＋(y＋2)＝1引切线，则切线长的最小值为
A．26 B.26 C．4＋2 D．5
解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M，则CM⊥MP， 于是切线MP的长|MP|＝|CP|－|MC| ＝
2
2
2
2
2
m＋2
2
＋3＋2
2
－1，
显然，当m＝－2时，|MP|有最小值24＝26.
答案 A
名师押题高考
【押题1】若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．
解析 当m＝－2时，
直线AB与2x＋y＋2＝0不平行； 当m≠－2时，据题意知，
4－mkAB＝＝－2，得m＝－8.
m＋2
答案 －8
[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．
【押题2】直线y＝kx＋3与圆(x－1)＋(y＋2)＝4相交于M、N两点，若|MN|≥23，则
2
2
k的取值范围是
12?12?12????A.?－∞，－? B.?－∞，－? C.?－∞，? 5?5?5????解析 圆心(1，－2)到直线y＝kx＋3的距离为
|k＋5|1＋k2
12??D.?－∞，?
5??
d＝，圆的半径r＝2，
2
2
∴|MN|＝2r－d＝2 12
解得k≤－. 5
k＋52
4－≥23， 21＋k答案 B
[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．
2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案
