例题讲解
1、(易 向量的概念)下列命题中,正确的是( )
A.若a?b,则a与b的方向相同或相反 B.若a?b,b?c,则a?c C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等 D.若a=b,b=c,则a=c.
????1????2????2、(易 线性表示)已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则
33????????|AB|:|BC|?( )
A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2
3、(易 坐标运算)已知向量a= (1,3),b= (3,n),若2a–b与b共线,则实数n的值是( ) A.6
B.9 C.3?23
D3?23
??????????????4、(易 向量的概念)向量AB?(4,?5)按向量a?(1,2)平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为
( )
A.(4,?5) B.(5,?3) C.(1,2) D.(3,?7) 5、(中 线性表示)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,
????????????F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF?( ) A.
14a?34b B.
14a?34b C.
18a?78b D.
18a?78b
C F E D B 6、(中 坐标运算)若函数f(x)?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是( )
???A.(,?1) B.(,?1) C.(,1) D.(0,1)
424
二、填空题:共3小题
7、(易 线性表示)设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则
k?
A 8、(易 线性运算)若a?b?c,化简3(a?2b)?2(3b?c)?2(a?b)? 9、(中 坐标运算)已知正△ABC的边长为1 ,则BC?2CA?3AB等于
????????????检测题
1、(易 线性运算)已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a(??R),则?= ( ) A.?1 B.?1 C.0 D.0
2、(易 向量不等式)设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( )
A.a?b?a?b B.a?b?a?b C.a?b?a?b D.a?a?b 3、(中 坐标运算)已知a=(?3,1),b=(1,?2),(?2a?b)?(a?kb),则实数k的值是 ( )
A.
53 B.
2511 C.?12 D.?17
4、(中 坐标运算)已知平面向量a?(x,1),b?(?x,x2),则向量a?b( ). A.平行于第一、三象限的角平分线 B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线 D.平行于x轴
5、(中 坐标运算)将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数
y?2x?5的图象只有一个公共点(3,1),则向量a?( )
A.(2,0) B.(2,1) C.(3,0) D.(3,1)
6. 如图,在正六边形ABCDEF中,
????????????已知AC?c,AD?d,则AE? (用c与d表示).
巩固练习
????????????????????1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?（ C ）
377A.1 B. ?4 C. ? D.
22[
2. 设a?(1,?2),b?(?3,4),c?(3,2)则(a?2b)?c? （ ） A.(?15,12) B.0 C.?3 D.?11 答案 C
3. 在?ABC中,已知向量AB?(cos18?,cos72?),BC?(2cos63?,2cos27?),则?ABC的
面积等于 A．
22 B．
24
C．
32
D．2
（ ）
答案A
4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为 A．10 B．20 C．－10 D．20
5. 已知下列命题中：
????（1）若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，
??????（2）若a?b?0，则a?0或b?0
（3）若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则(a?b)?(a?b)?0
??（4）若a与b平行，则a?b?|a|?|b|
（ ）
（5）p2?q2?(p?q)2
其中真命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
????????????6. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于（ ） A.30? B.60? C.90? D.120? 7. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE ????????????线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?
的延长
（ ） b
D．a?3123b
A．
14a?12 b B．
23a?13b C．
12a?14答案 B
8. 已知a?1,b?6,a?(b?a)?2，则向量a与向量b的夹角是（ ）
A．
?6 B．
?4 C．
?3 D．
?2
答案 C
????????????????9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有( )
A.ABCD是菱形 B.ABCD是矩形 C.ABCD是正方形 D.以上皆错
10.已知向量a?(cos?,sin?),向量b?(3,?1)则|2a?b|的最大值，最小值分别是（ ）
A．42,0 B．4,42 C．16,0 D．4,0 二.填空题
11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于 . 答案 －25
12. 设p = (2,7)，q = (x,?3)，若p与q的夹角??[0,?2)，则x的取值范围是
13. 若平面向量a，b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a? . TWT答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析 a?b?(1,0)或(?1,0)，则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1) 或a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1).
14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?(OB?OC)的最小值是________。 答案 －2
??15.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)，
??? n?(sinB,sinA)，p?(b?2,a?2) .
???（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形； ?????（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
3uvv证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,
即a?三角形
a2R?b?b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b ??ABC为等腰
uvuv解（2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0
?a?b?ab
由余弦定理可知， 4?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab
即(ab)?3ab?4?0
2?ab?4(舍去ab??1)
?S?12absinC?12?4?sin?3?3
课后练习
???????????1、已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且AB=a，AD＝b，则BE＝（ ）
??12??12??12??12（A） b+a （B） b－a （C） a＋b （D） a－b
2、设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（ ） (1)a＋b＝0 (2)a－b的方向与a的方向一致 (3)a＋b的方向与a的方向一致 (4)若a＋b的方向与b一致，则|a|<|b| A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 3、已知a=(1,－2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于（ ）
11A． B. ? C. 2 D. －2
224、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．e1?(0,0),e2?(?2,1) B. e1?(4,6),e2?(6,9)
C．e1?(2,?5),e2?(?6,4) D. e1?(2,?3),e2?(,?2134)
5、已知向量a,b的夹角为120?，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）2a= （ ） A．3 B. 9 C . 12 D. 13 6、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=（ ） A．
D．4
?????????7、若向量a与b的夹角为60，|b|?4,(a?2b).(a?3b)??72,则向量a的模为（ ） A．2
B．4 C．6
D．12
7
B．10 C．13
8、已知AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3),且BC∥DA，则x+2y的值为（ ） A．0 B. 2 C.
12 D. －2
9、P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心
D. 垂心
10、直线3x?4y?12?0的方向向量可以是（ ）
A.（4,3） B.(4,-3) C.(3,4) D.(-3,4) 11、点（2，-3）到直线5x?12y?4?0的距离为（ ） A.501312、下列命题中：
B.2213 C.2613 D.4613
①a∥b?存在唯一的实数??R，使得b??a；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|2e；③|a?a?a|?|a|；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立其中正确命题的序号是（ ）
3A．①⑤ B．②③④ C．②③ D．①④⑤
一、 填空题（4*4’）
→
13、与向量a =(12,5)平行的单位向量为
????????????14、已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三点共线，则k的值
为 _______
15、已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______
16、?ABC中，有命题①AB?AC?BC；②AB?BC?CA?0；③若
?????????????
平面向量复习题及答案
