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第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 答案：B
2．下列命题中，不正确的命题个数是( ) ①a·a＝|a|；
②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)； ③a·(b＋c)＝(b＋c)·a； ④a2b＝b2a.
A．4个 C．2个 答案：D
3．已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直
B．共线
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B．3个 D．1个
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C．不垂直 D．以上都可能
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a、b垂直． 答案：A
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A．13 C．2
B.13 D.5
a2＋6a·b＋9b2＝
解析：|a＋3b|＝（a＋3b）2＝1＋6×cos 60°＋9＝13. 答案：A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° C．60° 答案：C 二、填空题
6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， 32＋12＋42所以a·b＋b·c＋c·a＝＝－13.
2答案：－13
7．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝
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B．45° D．以上都不对
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135°，m⊥n，则λ＝________．
解析：由m⊥n，
得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·32×4cos 135°＋16λ＝0， 3即4λ＋6＝0，所以λ＝－.
23
答案：－
2
8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
答案：90° 三、解答题
9.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．
解：由AC⊥α，可知AC⊥AB.
→→
由∠DBD′＝30°，可知〈CA，BD〉＝60°，
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→2→→→→→2
因为|CD|＝CD·CD＝(CA＋AB＋BD)＝
→2→2→2→→→→→→
|CA|＋|AB|＋|BD|＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2＋a2＋b2
＋2(0＋b2cos 60°＋0)＝a2＋3b2，
→所以|CD|＝即CD＝
a2＋3b2，
a2＋3b2.
10.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； π
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
3→→→→→→
(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC. 因为BB1⊥平面ABC， →→→→
所以BB1·AB＝0，BB1·BC＝0. 又△ABC为正三角形，
→→→→π2π
所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.
33
→→→→→→→→→→→因为AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB，BC＋BB1
2
→→→→→→→2
＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB·BC〉＋BB1＝－1＋1＝0，
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所以AB1⊥BC1.
→→→→→→→2→
(2)解：结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB1＝BB1
2
－1.
→又|AB1|＝
→→2（AB＋BB1）＝
→→2
2＋BB1＝|BC1|，
→2
BB1－11→→
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝.
→222＋BB1→
所以|BB1|＝2，即侧棱长为2.
B级 能力提升
?a·a???b，则向量a1．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·?b?
与c的夹角为( )
πππ
A．0 B. C. D.
632答案：D
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．
解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， 又(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0
1
两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2代入上面两个式子中
2的任意一个，即可得到|a|＝|b|.
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12|b|
a·b21
所以cos〈a，b〉＝＝2＝，
|a||b||b|2所以〈a，b〉＝60°. 答案：60°
3．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．
→→→
解：(1)如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 120°＝－1. →→→→
因为AC1＝AB＋BC＋CC1＝a＋b＋c，
→2
所以|AC1|＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋→
2－2－2＝2.所以|AC1|＝2.
2
即AC1长为2.
→→
(2)因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，
→→
所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝
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1＋12－22＝－2.
又|A1D|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7， →
所以|A1D|＝7，
→→AC1·A1D－2→→14
所以cos〈AC1，A1D〉＝＝＝－.
7→→7×2
|AC1||A1D|故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为－
14. 17
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人教版A版高中数学高二版选修2-1练习 3.1.3空间向量的数量积运算
