学 海 无 涯
相似三角形------射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD＝ＢＤ?AD、 ＢＣ＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ＝ＡＤ?ＡＢ。 二、变式推广
１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ＝ＢＤ?
ＡＤ或ＡＣ＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 三、应用
例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ
２
２
２
２
２
２
２２
２
0
分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=90-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）
1 第 1 页 共 4 页
２
学 海 无 涯
例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ (解略)
例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ＝ＣＦ?ＢＦ。
证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共， ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴
２２
２
ＡＦCＦ＝， ＢＦＡＦ２
∴ＡＦ＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ＝ＣＦ?ＢＦ。
射影定理练习 【选择题】
1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE⊥AB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）
A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm
2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长
A、1 B、2 C、3 D、4
2 第 2 页 共 4 页
学 海 无 涯
AC3BD3、在RtABC中，?BAC=90，AD⊥BC于点D，若=，则=（ ）
AB4CD34169A、 B、 C、 D、
43916【填空题】
5、ABC中，?A=90，AD⊥BC于点D，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，AB2:AC2= 。
6、如图2-1，在RtABC中，?ACB=90，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】
7、已知CD是ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图3-1，求证：CEF∽CBA
8、已知?CAB=90，AD⊥CB，ACE，ABF角形，求证：DE⊥DF
10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证： （1）△AED∽△CBM； （2）AE?
是正三
CM=AC?
3 第 3 页 共 4 页
学 海 无 涯
CD ．
11、已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。
2
求证： （1）BE=EF?EG
（2）若过点B的射线交AD\\AC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。
4 第 4 页 共 4 页
中考射影定理及其运用(2024年8月整理).pdf
