第2讲 函数的应用
考情解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
热点一 函数的零点
例1 (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
?
(2)(2014·辽宁改编)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝?1
2x－1，x∈?，＋∞?，?2
1
f(x－1)≤的解集为________．
2
1
cos πx，x∈[0，]，
2
则不等式
思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 1247
答案 (1)1 (2)[，]∪[，]
4334
解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增， 且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．
(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．
1
∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交
2于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标． 11
令cos πx＝，∵x∈[0，]，
22π1
∴πx＝，∴x＝.
33
1313令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.
2434
131
根据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－. 24311
∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，
221331
∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， 34434712∴≤x≤或≤x≤. 3443
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同
的方程多以数形结合求解．
1
(1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是________．
4
(2)已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0 2 答案 (1)3 (2)f(x0)<0 1 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数， 41 而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个． 4 (2)∵f(x)＝2x－log1x在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，即f(a)＝0， 2 2 ∴当0 热点二 函数的零点与参数的范围 ??b，a－b≥1， 例2 (2014·常州高三模拟)对任意实数a，b定义运算“?”：a?b＝?设f(x)＝(x2 ?a，a－b<1.? －1)?(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是________． 思维启迪 先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围． 答案 [－2,1) 解析 解不等式x2－1－(4＋x)≥1， 得x≤－2或x≥3， ??x＋4，x∈?－∞，－2]∪[3，＋∞?， 所以f(x)＝?2 ?x－1，x∈?－2，3?.? 函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点． 如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1. 思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解． 定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程 3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 1 答案 (－∞，－) 2
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)
