2018年（衡水金卷）普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）
（附答案）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i虚数单位，复数
5?i?3i对应的点在复平面的（ ） 3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合A?{x|x?a}，B?{x|log1(x?4x)?log2}，若A2215B??，则实数a的取值范围为（ ）
A．(?1,5) B．[0,4] C．(??,?1] D．(??,?1)
3.设a，b，c，d，x为实数，且b?a?0，c?d，下列不等式正确的是（ ） A．d?a?c?d B．
bb?xaa?|x|cd? C．b?a D． ? aa?xbb?|x|4.设随机变量?N(?,?2)，则使得P(??3m)?P(??3)?1成立的一个必要不充分条件为（ ）
2或m?2 3A．m?1或m?2 B．m?1 C.m??1 D．m??5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S?3，则判断框内实数M应填入的整数值为（ ）
A．998 B．999 C.1000 D．1001
226.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9，则下列选项中结果为0的是（ ） ?a7A．a9 B．a7 C.S15 D．S16
x2y2a?0，b?0）的左、右顶点，过左顶点A1的直线l交双曲线7.设A1，A2分别为双曲线C:2?2?1（
ab右支于点P，连接A2P，设直线l与直线A2P的斜率分别为k1，k2，若k1，k2互为倒数，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
1 B．2 C.3 D．22 28.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．8??16 B．8? C.16 D．8??162 39.已知曲线y?x3?3x和直线y?x所围成图形的面积是m，则(y?x?m)5的展开式中x项的系数为
（ ）
A．480 B．160 C.1280 D．640
10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0,4)，AB?(2,0)，AB?(2,0)，BC?BA?(1,?1)，设
P(x,y)，AP?mAB?nAC，若m?0，n?0，且m?n?1，则x?2y的最大值为（ ）
A．7 B．10 C.8 D．12
11.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x?4y?4，其左、右焦点分别是F1，
22F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|?1，过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M，则|F1M|:|F2M|?（ ）
A．2:3 B．1:2 C.1:3 D．1:3 12.将给定的一个数列{an}：a1，a2，a3，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将a1作为第一组，将a2，a3作为第二组，将a4，a5，a6作为第三组，…，
依次类推，第n组有n个元素（n?N），即可得到以组为单位的序列：(a1)，(a2,a3)，(a4,a5,a6)，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n个括号称为第n群，从而数列{an}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群众，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群众的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，3），…，以此类推.设该数列前n项和N?a1?a2?2*?an，若使得N?14900成立的最小an位于第m个群，则
m?（ ）
A．11 B．10 C.9 D．8
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若函数f(x)?kx?log3(1?9x)为偶函数，则k? ． 14.已知sin(x?9??9??33?)cos?cos(x?)sin?，x?(?,)，则tan2x? ． 1471475215.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A、B、C、D参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C对B说：“你没有获得一等奖”，B对
C说：“你获得了二等奖”；A对大家说：“我未获得三等奖”，D对A、B、C说：“你妈三人中有一人未
获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计 种．（用数字作答）
Q分别在边AB，AC上，16.已知G为?ABC的重心，点P、且存在实数t，使得PG?tPQ.若AP??ABAQ??AC，则
1??1?? ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2acosB?2c?b. （1）求角A的大小； （2）若?ABC的面积S?3319，D为BC边的中点，AD?，求b?c. 2218. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一
带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料: 月份x 1 2 13 3 16 4 15 5 20 6 21 市场份额y（%） 11 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；
(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为s，经统计，当0?s?200时，企业每天亏损约为200万元，当200?s?400时，企业平均每天收人约为400万元;当s?400时，企业平均每天收人约为700万元。 ①设该企业在六月份每天收人为X,求X的数学期望;
②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率。
b?附:回归直线的方程是y?bx?a,
?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n2,a?y?bx,i?1?(x?x)(y?y)?35ii6.
AB?1，AAD为棱AA1的中点，19. 如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，1?2，BD与AB1交于点O，CO?侧面ABB1A1，E为B1C的中点.
（1）证明：DE平面ABC；
（2）若OC?OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.
20. 已知焦点为F的的抛物线C：y2?2px（p?0）与圆心在坐标原点O，半径为r的O交于A，B两点，且A(2,m)，|AF|?5，其中p，r，m均为正实数. 2（1）求抛物线C及O的方程；
（2）设点P为劣弧AB上任意一点，过P作
O的切线交抛物线C于Q，R两点，过Q，的直线l1，l2均
于抛物线C相切，且两直线交于点M，求点M的轨迹方程.
21. 已知函数f(x)?lnx?k，g(x)?ex，其中k为常数，e?2.71828是自然对数的底数.
1eg(x)[1?g(?2)]（2）证明：当k?1时，1?xf(x)?恒成立.
x?1（1）设F(x)?f(x)g(x)，若函数F(x)在区间[,e]上有极值点，求实数k的取值范围；
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
??x?22cos?在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为?，（?为参数），直线l的参数方程为
??y?2sin???x?2?t,（t为参数，k为实数），直线l与曲线C交于AB两点. ???y?2?kt（1）若k?2，求|AB|的长度；
（2）当?AOB面积取得最大值时（O为原点），求k的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?2|?|4x|. （1）求不等式f(x)?6x?1的解集；
4?a??6,a?0,?（2）若g(a)??证明：不等式f(x)?g(a)恒成立. a??a2?2a?1,a?0,?
试卷答案 一、选择题
1-5:DDDAA 6-10:CBADB 11、12：CB 二、填空题
13.-1 14.?三、解答题
17.解：（1）因为2acosB?2c?b，由正弦定理，得2sinAcosB?2sinC?sinB. 又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB， 所以2sinAcosB?2sinAcisB?2cosAsinB?sinB， 即2cosAsinB?sinB. 因为sinB?o，故cosA?所以A?24 15.12 16.3 71. 2?3.
（2）由?ABC的面积S?1333，得bc?6. bcsinA?bc?2421(AB?AC)， 2121922因此|AD|?(c?b?bc)?，
44又D为BC边的中点，故AD?故c?b?bc?19， 即(c?b)?bc?19， 故(c?b)?19?bc?25. 所以b?c?5.
18.解：（1）由题意，x?22221?2?3?4?5?6?3.5，
611?13?16?15?20?21y??16，
6故
?(x?x)ii?162?17.5，b?2，
由a?y?bx得a?16?2?3.5?9，
则y?2x?9.
当x?7时，y?2?7?9?23，
所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.
（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件A，平均每天收入约达到400万元为事件B，平均每天收入约达到700万元为事件C，
则P(A)?0.1，P(B)?0.2，P(C)?0.7. 故X的分布列为
X -200 0.1 400 0.2 700 0.3 P 所以E(X)??200?0.1?400?0.2?700?0.7?550（万元）. ②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.
222则P?0.23?C3?0.72?0.1?C3?0.72?0.2?C3?0.22?0.7?0.73?0.876.
所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876. 19.解：（1）取BC中点为F，连接EF，DE，FA， 由EF?得EF11BB1，AD?BB1，EFBB1，ADBB1， 22DA，且EF?DA，
所以四边形ADEF为平行四边形. 所以DEAF，
又因为AF?平面ABC，DE?平面ABC，所以DE平面ABC. （2）由已知BDAB1?(BA?DA)(2AD?AB)?0?OA?OD. 又CO?平面ABB1A1， 所以OD，OA，OC两两垂直.
以O为坐标原点，OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则经计算得A(0,?3636,0)，B(?,0,0)，C(0,0,)，D(,0,0)， 3333因为CC1?2AD， 所以C1(6233,，)， 3636333,,0)，AC?(0,,)， 3333所以AB?(?DC?(6233,,). 633设平面ABC 一个法向量为n?(x,y,z)，
?63ABn??x?y?0,??33由? ?ACn?3y?3z?0,?33?令x?1，得n?(1,2,?2).
设直线C1D与平面ABC所成的角为?， 则sin??|DC1n|355. ?55|DC1||n|p5?，故p?1。 2220.解：（1）由题意，|AF|?2?2所以抛物线C的方程为y?2x.
将A(2,m)代入抛物线方程，解得m?2， 因此A(2,2)，
故r2?|OA|2?22?22?8，
O的方程为x2?y2?8.
2y12y2（2）设M(x,y)，Q(,y1)，R(,y2)，P(x0,y0)，
22y12设l1：y?y1?k(x?)，
2?y12?y?y1?k(x?),则由?2
?y2?2x,?2得ky2?2y?2y1?ky1?0，
2令??(?2)2?4k(2y1?ky1)?0，解得k?
1
， y1
故l1：y?y1x?1， y12y1x?2. y22同理l2： y???y??则由??y???y1x?1,y12y1x?2,y22
y1y2?x?,??2解得?
y?y2?y?1,??2因直线QR:x0x?y0y?8，x0?[2,22].
?x0x?y0y?8,则由?2
?y?2x,得x0y?2y0y?16?0，
2
2018年(衡水金卷)普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(四)(附答案)
