.. . .. . .
??a?????a?? （结合律）
?????a??a??a （第一分配律）
?a?b??a??b?? （第二分配律）
实数与向量的积也叫数乘向量． 4、共线向量
（1）共线向量定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。若a与b是共线向量，则记为a//b。
注意：零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量定理
对空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ使a＝λb （3）空间直线的向量表示式
如果直线 l 是经过已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点 O，点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?ta，其中向量a叫做直线 l 的方向向量． 注意：
①若在 l 上取AB?a，则有
OP?OA?tAB,?OP?OA?tOB?OA?(1?t)OA?tOB
??B?OA?(1?t)OA?tOB?
②上式可解决三点P、A、B 共线问题的表示或判定．
③当
t?111OP?OA?OB222时，，点P为AB的中点，这是中点公式的向量表达式．
OP?1?OA?OB1??1??
④ 若P分AB所成比为?，则
5、空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴正半轴沿逆时针方向转 900能与 y 轴的正半轴重合。让右手拇指指向 x 轴正方向．食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．
在平面上画空间直角坐标系 O－xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长公式的推广，如果知道儿何体上任意两点的坐标．我们就可直接套用．
222PP?(x?x)?(y?y)?(z?z)P(x,y,z),P(x,y,z)1221212111112222设，则 S. . . . . ..
.. . .. . .
222|OP|?x?y?z特别地，P1（x,y,z）到原点的距离
6、空间向量的数量积运算
??
a?b?|a|?|b|?cos?a,b?
????????其中?a,b?为a与b的夹角，围是[0，π]，注意数量积的性质和运算律。
?? 1. 性质
b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 若a、（1）e?a?a?e?|a|cos? （2）a?b?a?b?0
（3）若a与b同向，则a?b?|a|?|b|； 若a与b反向，则a?b??|a|?|b|； 特别地：a?a?|a|或|a|??????2????????????????????????????a?a
??a、b的夹角，则cos??a?b
（4）若θ为（5）|a?b|?|a||b|
????????|a|?|b|
?? 2. 运算律
（1）结合律(?a)?b??(a?b) （2）交换律a?b?b?a
（3）分配律a?(b?c)?a?b?a?c 不满足消去律和结合律即：
?????????????a?b?b?c?(a?b)c不一定等于a(b?c) ?a?c，??????????【典型例题】
例1. 已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、
H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面。 证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R ∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心 ∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形，且有
S. . . . . ..
.. . .. . .
?2??2??2??2?PE?PM，PF?PN，PG?PQ，PH?PR3333
∵MNQR为平行四边形，则
???2?2?2?EG?PG?PE?PQ?PM?MQ333
2??2??2???(MN?MR)?(PN?PM)?(PR?PM)33323?3?23?3??(PF?PE)?(PH?PE)322322?? ?EF?EH ∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。
?????? 例2. 如图所示，在平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，AB?a，AD?b，AA?c，
P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，点Q是CA'上的点，且CQ：QA'=4：
???b，c}表示以下向量： 1，用基底{a，
????（1）AP；（2）AM；（3）AN；（4）AQ。 解：连结AC、AD'
?1??1???1???AP?(AC?AA')?(AB?AD?AA')?(a?b?c)222（1）； ?1????1?1??1?AM?(AC?AD)?(AB?2AD?AA')?a?b?c2222； （2）
?1??AN?(AC?AD')2（3）
S. . . . . ..
空间向量与立体几何知识点
