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往届高等数学期终考题汇编
2009-01-12
一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限lim?x?01xln(1?ex).
22?2.设y?xx2?a2?a2ln??x?x?a?,求dy.
??
2?d2y?x?2t?t3.设?，求2.
3dx??y?3t?t
4.判定级数?
5.求反常积分?01arcsin????e?2?nn!???0?的敛散性.
nnxdx.
n?1x?1?x?
6.求?xarctanxdx.
7.?0sinx?sin3xdx.
???x,x??2在???,??上展为以2?为周期的付里叶级数，并指出收敛于f?x?的区8.将f(x)????0,?x???2间.
9.求微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的解.
10.求曲线xy?1与直线x?1,x?2,y?0所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将f?x??ln?4x?5?展开为x?2的幂级数,并指出其收敛域.
三.(9分)在曲线y?sinx2?0?x?1?上取点Aa,sina2,?0?a?1?,过点A作平行于ox轴的直线L,由直线L,oy轴及曲线y?sinx2?0?x?a?所围成的图形记为S1,由直线L,直线x?1及曲线
y?sinx2?a?x?1?所围成的图形面积记为S2,问a为何值时,S?S1?S2取得最小值.
??四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数?x2e?nx在?0,??)上一致收敛.
n?0??（2）求幂级数?(?1)n?1?2n?1?22n?1x2n?2的收敛域及和函数.
bn?1六.(6分)设f?x??C2?a,b?,试证存在???a,b?,使?af?x?dx??b?a?f??a?b?1?b?a?3f????? ???2?24
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2008．1．15
一．解答下列各题(6*10分):
1.计算极限 lim2.设y?e2xex?x?2??x?2sinx3x?0.
?xlog2x?arctan,求dy.
5?x?lncost,??d2y?3.设??0?t??,求2y?sint?tcost;2?dx??3n4.判定级数?的敛散性. nn2n?1??lnx5.计算反常积分?dx. 21x2xsinx6.计算不定积分?dx.
cos3x1dx??.
t??37.计算定积分
??1?e?0x2.
8.求函数f?x???9.求微分方程?1?y?dx?x?y?ydy?0的通解.
2322?1,0?x?1在?0,2?上展成以4为周期的正弦级数.
?2,1?x?2??10.求由曲线y?x?7及y?3x?5所围成的图形绕ox轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当x?0时,有
22 ?1?x??2ln?1?x??1??1?4xarctanx?2ln1?x.
??三.(9分) 设抛物线y?ax?bx?a?0?通过点M?1,3?,为了使此抛物线与直线y?2x所围成
2的平面图形的面积最小,试确定a和b的值.
四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数
n?1nx的收敛域及其和函数. ?n2n!n?0x?0?六.(6分)设函数f?x?在x?0的邻域内有连续的一阶导数,且limf?x??a?a?0?,
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???1?n?1?n?1?1?f??条件收敛. ?n?
2007年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
ex?ln?1?x??11．计算极限lim.
x?0x?arctanx2. 设y?arcsin1?x2, 求dy.
?x?te?u2du.dy??03. 设?求.
ydxx?0??esint?y?1?0.?n4. 判定级数?的敛散性. n4?3n?1?dx5. 计算反常积分?.
1?1?x?x6设lnx?1?x2为f?x?的原函数, 求xf??x?dx.
?????1, 0?x?;?2?7. 将f?x???展开成以2?为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别
??0, ?x??.?2?35在x??和x??两点的收敛值.
228. 将函数f?x??lnx展开为x?2的幂级数,并指出其收敛域.
9求微分方程?x?1?y??2y??x?1?2的通解.
72210. 求抛物线x?5y与x?1?y所围图形的面积.
?1et2dt??cosx, x?0;二. (9分) 若函数f?x???在x?0点可导. 求a和f??0?.
x? x?0.?a, ?x?x三. (9分) 在曲线y?e?x?0?上求一点x0,e0,使得过该点的切线与两个坐标轴所围
??平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.
四(8分)半径为R的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H为多少? 五.(8分)求幂级数?n?n?1?x的和函数并求出级数?n?n?1?nn?1n?1??1的和. n2精品文档
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六. (6分) 已知函数f?x?在?0,???上可导, 且f?0??1并满足等式
f??x??f?x??
1x?x?e?f?x??1 ?x?0?. ??fx, 求并证明??ftdt?0?0x?12006年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
tanx?sinx
x?0x3x??12.设y?arctan?tan?, 求dy.
2??21. lim?x?2x?0?e, 3.设f?x???, 求?f?x?1?dx.
2?1??x?1, x?01?n?1??的敛散性. ?n?n?12?n?5. 设y?y?x?由方程y?tan?x?y?所确定,求y?.
4. 判定级数6.计算不定积分
?n221?e7. 将f?x??2?x, x????,??展成以2?为周期的傅立叶级数.
??1?e?2xx2dx.
1展成?x?4?的幂级数, 并指出收敛区间. 2x?3x?24x9. 求微分方程xy??3y?xe的通解.
8. 将函数f?x??10. 设曲线y?ax22?a?0,x?0?与y?1?x2交于点
A, 过坐标原点O和点A的直
线与曲线y?ax围成一个平面图形. 问: 当a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积最大?
?二. (8分) 证明不等式: 当x?0时, x??x?1??, ?0???1?. 三. (9分). 设f?x???x21e?tdt, 求?xf?x?dx.
210四. (9分). 一物体在某一介质中按x?ct作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的
平方成正比, 计算物体由x?0移动到x?a时克服阻力所作的功.
31的和. ?nn?0?n?1?3六. (5分). 设f???x??0, x??a,b?, 证明:
b1f?a??f?b??a?b???fxdx? f?. ???a??2b?a2??五. (9分) 求级数
?
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2005年1月15日
一. 解答下列各题（6×10分）
exsinx?x?x?1?1． 计算极限lim x?0x?sinxx212． 设y?x?1?lnx?x2?1，求dy.
22?x2, x?x03． 设f?x???在x0处可导,求常数a和b.
?ax?b, x?x0??4． 判定级数
?n?1???1?n?1n的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
3ny5． 设y?y?x?由方程y?1?ln(x?y)?e所确定,求y?. 6． 设f?x?连续,且满足
32?x3?10 f?t?dt?x.求f?26???.
7． 求f?x??2x?3x?12x?1的极值. 8． 计算不定积分9． 计算定积分
1?x2dx4?lnxxdx.
2.
?arctan010． 求由曲线y?x?1, 直线y?0,x?0, x?1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所
产生的旋转体的体积.
x3???二. (8分). 试证明不等式x??0,?时, tanx?x?.
3?2?1三. (9分) 将函数f?x??展成x?3的幂级数,并指出收敛区间. 22x?x?3四. (9分) 已知f?x?在x?12的邻域内可导, 且limf?x??0,limf??x??x?12x?12x2005. 2?t12f?u?du?dt?12??t???.
求极限limx??12?12?x?3?n?1nx的收敛域及和函数. 五.(8分) 求幂级数?n!n?0六. (6分) 设f?x?在?0,1?上连续, 在?0,1?内可导, 且0?f??x??1, f?0?0?.
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