图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A．B的坐标，
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点△OA'M的面积，
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D为顶点的三角形与△
OA'C相似．若存在，请求出点
D，使得以A．O、
A'恰好在以OM为直径的圆上，连接
OM、A'M，求
2
D的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标，把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣
4的解为点B横坐标．
A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）F2的解析式，进而求得对称轴．设点
M纵坐标为m，则能用
90°，
（2）根据旋转90°的性质特点可求点及OA'的长，用待定系数法求抛物线m表示A'M、OM的长度．因为点故能根据勾股定理列得关于OA'M的面积．
（3）求直线OB'解析式，与抛物线坐标相同，即
A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆周角，等于
m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的长，OA'?A'M即求得△
F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与C纵
OA'C相似，则
A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A．O、D为顶点的三角形要与△
△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能
x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠
AOD＝135°．由于∠AOD的两夹边
在x轴或y轴的负半轴，在
对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△边成比例求得
OD的长，即得到点
D坐标．
2
AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应
解：（1）当x＝﹣4时，y＝∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，
x+x＝﹣2
2
×（﹣4）+×（﹣4）＝﹣4
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝
∵抛物线F2：y＝ax+bx+4经过点A'、B'
2
∴解得：
∴抛物线F2解析式为：y＝x﹣3x+4
2
∴对称轴为直线：x＝﹣＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM＝6+m，A'M＝（6﹣4）+（m+4）＝m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'+A'M＝OM∴（4
）+m+8m+20＝36+m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解得：m＝﹣2
∴A'M＝∴S△OA'M＝
OA'?A'M＝
＝8
D，使得以A．O、D为顶点的三角形与△
OA'C相似．
（3）在坐标轴上存在点∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣x
解得：（即为点B'）
∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4 ∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝
OA'＝8
＝1
∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点
D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A．O、D为顶点的三角
形与△OA'C相似．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（
2）题求点旋转
90°后对应
点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．18.（2024年湖南省郴州市）已知抛物线
与y轴交于点
C．
D的坐标，
y＝ax+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
2
（1）求抛物线的表达式及顶点
（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝
，当k为何值时，CF＝
AD？
ABC相似？若相似，求出点
F的坐标，若不相似，
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将A．B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点
D（﹣1，4），
AC＝3
，DC＝k的值，
ABC相似，
，AD＝2
，可得△ACD为直角三角形，
（2）①由A．C、D三点的坐标求出若CF＝
，则点F为AD的中点，可求出
②由条件可判断∠DAC＝∠OBC，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△
AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点
2
可分两种情况考虑：当∠F的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴，解得：
2
，
∴抛物线解析式为
2
y＝﹣x﹣2x+3，
2
∵y＝﹣x﹣2x+3＝﹣（x+1）+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4），
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC＝OA+OC＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD＝1+1＝2 ∴AD＝2+4＝20 ∴AC+CD＝AD
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴△ACD为直角三角形，且∠∵
，
ACD＝90°．
∴F为AD的中点，∴∴
．
，
，
，
②在Rt△ACD中，tan在Rt△OBC中，tan∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△
ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，
【备考2024】年湖南省中考数学精编精练5：二次函数(解析卷)
