的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣
x+x＝﹣
t+
2
2
t+
2
t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，﹣t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
AQ∥EF，
∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣∴t＝﹣
t+
2
t+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣
2
t+
2
t，
t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4，
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣∴8﹣t＝﹣
t+
2
t+
2
t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+
2
t，
t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6，
③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣∴8﹣t＝
t﹣
2
t+t+4）＝
2
t﹣
2
t，
t，
（舍去），t6＝2+2
．
t的值为4，6或2+2
．．
解得：t5＝2﹣2
综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、质、待定系数法求一次函数解析式、
二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性
解题
一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，
的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，（2）利用正方形的性质，
找出关于m的方程，（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．11.（2024年湖南省长沙市）已知抛物线
（1）若抛物线的顶点坐标为（
y＝﹣2x+（b﹣2）x+（c﹣2024）（b，c为常数）．
2
1，1），求b，c的值，
c的取值范围，
≤
≤
，
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求（3）在（1）的条件下，存在正实数求m，n的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y＝﹣2（x﹣1）+1，易得b、c的值，
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（函数解析式，经过化简得到（3）由题意知，抛物线为
c＝2x0+2024，易得c≥2024，
2
2
m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好
y＝﹣2x+（b﹣2）x+（c﹣2024）可知，
2
x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入
y＝﹣2x+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）+1，则y≤1．利用不等式的性质推知：
x＝m时，y
2
最大值
22
，易得1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当
x＝n时，y值．
解：（1）由题可知，抛物线解析式是：∴
．
＝﹣2n+4n﹣1．所以
2
＝﹣2m+4m﹣1．当
m、n的
2
最小值
＝﹣2m+4m﹣1，
2
＝﹣2n+4n﹣1通过解方程求得
y＝﹣2（x﹣1）+1＝﹣2x+4x﹣1．
22
∴b＝6，c＝2024．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（
x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：
2
．
∴两式相加可得：﹣∴c＝2x0+2024，∴c＞2024，
2
4x0+2（c﹣2024）＝0．
（3）由（1）可知抛物线为∴y≤1．
y＝﹣2x+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）+1．
22
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好∴∴∴
≤．
≤1，即m≥1．
．
≤≤，
∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是
x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y当x＝n时，y又
最大值
＝﹣2m+4m﹣1．
2
2
最小值
＝﹣2n+4n﹣1．
，
∴．
将①整理，得
2
2n﹣4n+n+1＝0，
32
变形，得2n（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，
∴2n﹣2n﹣1＝0．解得n1＝
（舍去），n2＝
2
2
2
．
同理，由②得到：（∵1≤m＜n，∴2m﹣2m﹣1＝0．
2
m﹣1）（2m﹣2m﹣1）＝0．
解得m1＝1，m2＝综上所述，m＝1，n＝
（舍去），m3＝
．
（舍去）．
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
12.（2024年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为
D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式，（2）在二次函数图象位于
x轴上方部分有两个动点
M、N，且点N在点M的左侧，过
M、N作x
A（1，4），与坐标轴交于
B、C、
该
轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，
P，使△PNC的面积是矩形
MNHG
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点面积的
？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）二次函数表达式为：
y＝a（x﹣1）+4，将点B的坐标代入上式，即可求解，
2
2
2
（2）矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x+2x+3）＝﹣2x+8x+2，即可求解，（3）S△PNC＝
＝
×PK×CD＝
×PH×sin45°×3
2
，解得：PH＝＝HG，即可求解．
解：（1）二次函数表达式为：将点B的坐标代入上式得：故函数表达式为：
2
y＝a（x﹣1）+4，
0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
y＝﹣x+2x+3…①，
2
2
（2）设点M的坐标为（x，﹣x+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x+2x+3）＝﹣2x+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣
＝2，C有最大值，最大值为
10，
2
2
2
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合，
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝
×MN×GM＝
×2×3＝
，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交
CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，
过点P作PK∥⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
设点P（x，﹣x2
+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝
＝
×PK×CD＝×PH×sin45°×3
，
解得：PH＝
＝HG，
则PH＝﹣x2
+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，故点P（
，
），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
联立①②并解得：
x＝
，
即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，），故点P坐标为：（
，
）或（
，
）或（
，
）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
之间的关系．
（2024年湖南省长沙市）如图，抛物线
y＝ax2
+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于要会利用数从而求出线段
O，A两点，点
13.
【备考2024】年湖南省中考数学精编精练5：二次函数(解析卷)
