知识点3、集合间的基本关系
知识梳理
1、子集的概念
定义 记法与读法 图示
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
结论
(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”) 2、集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B. 3、真子集的概念 定义 记法 图示 结论 4、空集的概念 定义 记法 规定 特性 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 (1)A?B且B?C，则A?C； (2)A?B且A≠B，则A?B 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集 记作A?B(或B?A) ??????? 空集是任何集合的子集，即??A (1)空集只有一个子集，即它的本身，??? (2)A≠?，则??A ?常考题型
题型一、集合间关系的判断
例1、(1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1 B．2 C．3 D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集； 若既有A?B，又有B?A，则A＝B. (2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
变式训练
能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
A. B. C. D.
题型二、有限集合子集的确定
例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
?公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A?B?C，则符合条件的集合B有2m
－n
个．
变式训练
非空集合S?{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．
题型三、集合间关系的应用
例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
变式训练
已知集合A＝{x|1 课时小测 1、给出下列四个判断： ①?＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集． 其中，正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( ) A．A?B?C B．B?A?C C．A?B?C D．A＝B?C ?3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________. 4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________． 5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 同步练习 一、选择题 1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是 A．对任意的a∈A，都有a?B C．存在a0，满足a0∈A，a0?B B．对任意的b∈B，都有b?A D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B 2．如果A??x|x??1?，那么 A．0?A B．?0??A C．??A D．?0??A 3．下列各式中，正确的个数是 （1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}?{2，1，0}；（3）??{0，1，2}. A．0 B．1 C．2 D．3 4．若集合A??x|x?0?，且B?A，则集合B可能是 A．?1,2? B．?x|x?1? C．??1,0,1? D．R 5．若???{x|x?a,a?R}，则实数a的取值范围是 2A．(0,??) B．[0,??) C．(??,0] D．(??,0) 6．已知全集U?R，则正确表示集合M???1,0,1?和N?x|x2?x?0关系的韦恩(Venn)图是 ?? A B C D 7．设集合M?{1,2}，N?{a}，那么 A．若a?1，则N?M B．若N?M，则a?1 D．a?1和N?M成立没有关系 2C．若a?1，则N?M，反之也成立 8．已知集合P??4,5,6?，Q??1,2,3?，定义P?Q?xx?p?q,p?P,q?Q，则集合P?Q的所有非空真子集的个数为 A．32 B．31 C．30 D．以上都不对 ??二、填空题 9．设P={x|x<4}，Q={x|－2 2B?{x|0?x?5,x?N}，10．已知集合A?{x|x?3x?2?0,x?R}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为_____. 三、解答题 11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 12．已知集合A??2,4,6,8,9?,B??1,2,3,5,8?,又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B的一个子集,求集合C. 13．已知集合 ,集合 . （1）若 ? ,求实数 的取值范围;（2）是否存在实数 ,使 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 知识点4、集合的并集、交集 知识梳理 1、并集的概念 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 图形语言 2、并集的性质 (1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律． (2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身． (3)A∪?＝?∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身． (4)A?(A∪B)，B? (A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集． (5)若A?B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身． 3、交集的概念 文字语言 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 图形语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)
