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垂径定理
能力提升
1.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A.点P B.点Q C.点R D.点M
2.如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线与☉B相交于C,D两点,则弦CD的长所有可能的整数值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第1题图)
(第2题图)
3.(2015山东东营中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,则排水管内水的深度为 m.
4.如图,若☉O的半径为13 cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5 cm,则弦AB的长为 .
5.如图,在☉O中,AB,AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,若AC=2 cm,则☉O的半径为 .
(第4题图)
(第5题图)
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6.在半径为5 cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为8 cm,另一条弦长为6 cm,则两弦距离为 . 7.
(2014江苏南通中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径; (2)若∠M=∠D,求∠D的度数.
创新应用
8.某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2 m,拱顶高出水面2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
参考答案
1.B 连接BC,分别作AB,BC的垂直平分线(图略),两条垂直平分线相交于点Q,所以这条圆弧所在圆的圆心是点Q,故选B.
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2.C 半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).由P(0,-7),得BP=3.当弦CD⊥AB时,弦CD最短.连接BC,由勾股定理,得CP==4,由垂径定理,得CD=2CP=8.当弦CD是☉B的直径时,CD=10.所以8≤CD≤10,所以CD的整数值为8,9,10共三个. 3.
0.8 设圆心为O,作OC⊥AB于点C,由垂径定理,得BC=AB=0.4.连接OB,则OB=0.5.在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC==0.3,则排水管内水的深度为0.3+0.5=0.8(m).
4.24 cm 点P到圆心的最短距离是5 cm,即OP⊥AB时,OP=5 cm,根据垂径定理,得AB=2=24(cm).
5. cm 由垂径定理,得AE=CE=AD=BD=1 cm,从而可推得四边形ADOE为正方形, ∴OD=AD=1 cm.
再由勾股定理,得半径OA= cm.
6.1 cm或7 cm (1)当两弦在圆心的同侧时,如图①,我们可以作OM⊥AB于点M,交CD于点N.
在Rt△OBM中, OM==4(cm),
在Rt△ODN中,ON==3(cm),所以MN=OM-ON=1(cm),即当两弦在圆心的同侧时,两弦距离为1 cm.
(2)当两弦在圆心的两侧时,如图②,这时两弦距离为7 cm.
7.解:(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16, ∴DE=CD=8.
∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.
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在Rt△OED中,OE+ED=OD, ∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10. ∴☉O的直径是20.
(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°, ∴∠EOD+∠D=90°. ∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,
∴∠EOD+∠D=2∠M+∠D=90°, ∴∠D=30°. 8.
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解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为R m,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设得AB=7.2 m,CD=2.4 m,HN=MN=1.5 m. AD=AB=×7.2=3.6(m), OD=OC-DC=(R-2.4)(m).
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在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA=AD+OD,即R=3.6+(R-2.4). 解得R=3.9,OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得OH=, 即OH==3.6(m).
DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m). ∵2.1>2,
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
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九年级数学下册3.3垂径定理能力提升新版北师大版
