高等数学基础归类复习
一、单项选择题
1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．
3-2-1. 下列等式不成立的是（D ）． A.
A. C.
A.
x2lim2?1 B. limln(1?x)?0
x?0x??x?2exdx?dex B
?sinxdx?d(cosx) ?f?(x)dx?f(x) B.
?df(x)?dx?f(x)
x2，g(x)?x
C.1dx?dx D.lnxdx?d(1) d?f(x)dx?f(x) D. df(x)dx?f(x)
C.f(x)?lnx3，g(x)?3lnx 、 D. f(x)?x?1，2g(x)?x?1
x?11-2-1设函数
f(x)的定义域为
(??,??)，则函数
f(x)?f(?x)的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x
1-2-2设函数
f(x)的定义域为
(??,??)，则函数
f(x)?f(?x)的图形关于（D ）对称．
A.
y?x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点
1-2-3函数y?e?x?ex2的图形关于（ A ）对称．
(A) 坐标原点 (B)
x轴 (C) y轴 (D) y?x
1-⒊-1下列函数中为奇函数是（ B ）． A. y?ln(1?x2) B.
y?xcosx
x?x C.
y?a?a2 D.
y?ln(1?x)
1-⒊-2下列函数中为奇函数是（A ）． A. y?x3?x B. y?ex?e?x
C.
y?ln(x?1) D. y?xsinx
1-⒊-3下列函数中为偶函数的是（ D ）． A y?(1?x)sinx B y?x2x C y?xcosx D y?ln(1?x2)
C. limsinxx??x?0 D. lim12xxx??xsinx?0 3-2-2.下列等式中正确的是B ）． 2-2-1当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．
A.d(1A. sinx?x)?arctanxdx B. d(1 x)??dx12x2x B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2)
C.d(2xln2)?2xdx D.d(tanx)?cotxdx
2-2-2当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．A 1x B
4-1-1函数f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（ D ）． sinx A. x C ex?1 D xx2 (??,2)B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??)
2-2-3.当x?0时，变量（D ）是无穷小量．A 1x B
4-1-2函数
y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A）．
sinx A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调x C 2x D ln(x?1) 上升再单调下降 D. 单调上升 2-2-4下列变量中，是无穷小量的为（ B ）
1??x?0?4-1-3.函数
y?x2?x?6在区间
（－5，5）内满足（ A ） Asin1x?x?0? B ln?x?
1A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升 C .ex?x??? D.
x?2再单调下降 D 单调上升 x2?4?x?2? 3-1-1设f(x)在点x=1处可导，则4-1-4 函数y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足（D ）
． hlimf(1?2h)?f(1)?0?（D）．
hA. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先
A.
f?(1) B. ?f?(1) C. 2f?(1) D. ?2f?(1)
单调上升再单调下降 D. 单调上升 f(x)在xf(x?2h)?f(x13-1-2设
0可导，则lim00)5-1-1若f(x)的一个原函数是h?0h?x，则
f?(x)?（D ）． （D ）． A.
lnx B.
?1x2 C. 1x D. 2x3
A
f?(x0) B 2f?(x0) C ?f?(x0) D ?2f?(x0)
5-1-2若F(x)是 f(x) 的一个原函数，则下列等式成立
3-1-3设
f(x)在
x0可导，则limf(x0?2h)?f(x0)h?02h?的是（ A ）。 A
x（ D ）． ?af(x)dx?F(x)?F(a)B
?baF(x)dx?f(b)?f(a) A.
?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)
C.f?(x)?F(x) D
?baf?(x)dx?F(b)?F(a)
3-1-4设
f(x)?ex，
则f(1??x)?f(1)?limx?0?x?（ A ）
5-2-1若f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ B ）． A
e B. 2e C.
1 A.
B. 2e D. 14e sinx?c cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c 5-2-2下列等式成立的是（D ）．
1
5-2-3ddx?x2f(x3)dx?（ B ）． A. f(x3) B. x2f(x3) C. 13f(x) D. 13f(x3)
5-2-4ddx?xf(x2)dx?（ D ） A
xf(x2) B 12f(x)dx C 12f(x) D xf(x2)dx
5-3-1若
?f(x)dx?F(x)?c，则?1f(x)dx?（ B ）． x A. F(x)?cB. 2F(x)?c C. F(2x)?c D.
1xF(x)?c
补充： 1.
?e?xf(e?x)dx?
?F(e?x)?c, 2.无穷积分收敛的是
???11x2dx 3.函数
f(x)?10x?10?x的图形关于 y 轴 对称。
二、填空题 1-1函数f(x)?x2?9（?3?ln(1?x)的定义域是
3，+∞）． x1-2函数
y?x的定义域是（2，3）∪（ln(x?2)?4?x3，4]
1-3函数f(x)?ln(x?5)?1的定义域是 （－5，2）
2?x1-4若函数f(x)???x2?1,x?0，则f(0)? ?2x1．
,x?02-1若函数?1f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，??x?k,x?0则k?e．
2-2.函数?sin2xf(x)???x?0在x?0处连续，则k? 2
?x?kx?02-3函数y???x?1,x?0的间断点是 x=0．
?sinx,x?02-4函数2y?x?2x?3的间断点是 x=3 。
x?32-5函数
y?11?ex的间断点是 x=0
3-⒈1曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是
1/2 ．
3-1-2曲线f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 1/4． 3-1-3曲线f(x)?ex?1在（0，2）处的切线斜率是 1． 3-1-4.曲线f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3．
3-2-1 曲线
f(x)?sinx在(π
2
,1)处的切线方程是
y
= 1 ．切线斜率是 0 3-2-2曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1
4-1.函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是 （－∞，
0 ）． 4-2函数
f(x)?ex2的单调增加区间是 （0，+∞）．
4-3.函数y?(x?1)2?1的单调减少区间是（－∞，－1 ）． 4-4.函数
f(x)?x2?1的单调增加区间是（0，+∞）．
4-5函数
y?e?x2的单调减少区间是（0，+∞）． 25-1-1d?e?xdx?
e?x2dx
5-1-2ddx?sinx2dx? sinx2． 5-1-3?(tanx)?dx? tan x +C ．
5-1-4若
?f(x)dx?sin3x?c，则
f?(x)?－9 sin 3x
．
5-2-1
?3(sin5x?1)dx? 3 ． limx?a?32 )?1 化简计算。
x?asin(x?a2?1x35-2-2dx? 0 ． 2-1求limx?1)．
?1x2?1
x??1sin(x?15-2-3delimx2?1=lim(x?1).(x?1)?1?(?1?1)??2 dx?1ln(x?1)dx? 0 x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)5-2-4下列积分计算正确的是（ B ）． A
?(ex?e?x)dx?0 B?(ex2-2limsin?x?1?11x?1x2?1 ?1?e?x)dx?0 ?1 C
?1解： limsin(x?1)?limsin(x?1)12D
?1xdx?0 ?1?1|x|dx?0
x?1x2?1x?1(x?1).x?1)?1?111?1? (2三、计算题
（一2-3limx2?4x?3）、计算极限（1小题，11分）
?3)
x?3sin(x（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。
2（2）利用连续函数性质：
f(x解： limx?4x?30)有定义，则极限
x?3sin(x?3)?lim(x?3)(x?1)x?3sin(x?3)?limx?3(x?1)?2
xlim?xf(x)?f(x0)
0类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限
类型1： 利用重要极限 limsinx28x?0?1 ， limsinkx xx?0x?k，3-1 limx?6x?
x?4x2?5x?4limtankx 计算解： x2lim?6x?8=(x?4)(x?2)x?22x?0x?k x?4x2?5x?4limx?4(x?4)(x?1)?limx?4x?1?31-1求limsin6x3-2
2sin5x．
x?0limx?x?6 x??3x2?x?12sin6x解： limsin6x解：
limx2?x?6?x?3??x?2?x?0sin5x?lim6
x?0?xsin5x?5x??3x2?x?12?limx??3?x?3??x?4??limx?2x??3x?4?57 x3-3 2limx?3x?2
1-2 求 limtanx3x
x?2x2?4x?0x2解 lim?3x?2tanx?lim(x?2)(x?1)解： lim?1limtanx11?2x2?4x?2(x?2)(x?2)?limx?1x?2x?2?14
xx?0x?3?1?3
x?03x31x21-3 求limtan3x， x?0x 其他： 1. lim1?x2?1x?0sinx?lim2x?0sinx?0解：limtan3x=x?0xlimtan3xx?03x.3?1?3?3
2.
limsinxx?0x?1?1?limsin x?01?2类型2： 因式分解并利用重要极限 limsin(x?a)?1， 2xx?a(x?a)3
2limx?6x?52x??x2?limx，?4x?5x??x2?12
2x2?6x2x2lim2x??3x2?4x?5?limx??3x2?3 （0807考题）计算limtan8xx?0sin4x．
解： limtan8xtan8xx=
limx x?0sin48x?0sin4x.?4?2x（0801考题. ）计算limsinx．
x?02x 解 limsinx?1limsinx?0x?12
x?02x2x（0707考题.）
limx2?2x?3=??1sin(x?1)lim(x?1).(x?3)sin(x?1)?1?(?1?3)??4 xx??1（二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）
（1）利用导数的四则运算法则
(u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv?
（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式
(lnx)??1x (xa)??axa?1 (ex)??ex (eu)??eu.u? (sinx)??cosx(cosx)???sinx (tanx)??sec2x(cotx)???csc2x(ex2)??ex2.(x2)??2xex2(esinx)??esinx.(sinx)??esinxcosx (ecosx)??ecosx.(cosx)???ecosxsinx(sinu)??cosu.u?(sinx2)??cosx2.(x2)??2xcosx2 (sinex)??cosex.(ex)??excosex(cosu)???sinu.u?(cosx2)???sinx2(x2)???2xsinx2 (cose)???sinex.(ex)???exsinex类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1
y?(xx?3)ex
?3????3?x31xx?x2y?＝?x?3?e??x2?3???e??xe??x2?3?e
2??????32其他： 解
y?2x?cosx，求y?。 x：
0701计算edx．
2?x1x 类型1：
111xa?11???313x2?x2?3??ex ?2?1-2
y?cotx?x2lnx
解：
y??(cotx)??(x2lnx)???csc2x?(x2)?lnx?x2(lnx)???csc2x?2xlnx?x1-3 设
y?extanx?lnx，求y?．
解
：
y??(extanx)??(lnx)??(ex)?tanx?ex(tanx)??1x?extanx?exsec2x?1
x类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 y?sinx2?lnx，求y?
解：y??(sinx2)??(lnx)??2xcosx2?1x
2-2 y?cosex?sinx2，求y? 解
：
y??(cosex)??(sinx2)???sinex.(ex)??cosx2.(x2)???exsinex?2xcosx22-3 y?ln5x?e?5x，求y?，
解：
y??(ln5x)??.(e?5x)??5xln4x?5e?5x
类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 3-1y?ex2cosx，求y? 。
解
：
y??(ex2)?cosx?ex2(cosx)??2xex2cosx?ex2sinx
y??(2x)??(cosx(cosx)?.x?cosx.(xx)??2xln2?)?x2?2xln2?xsinx?cosxx2
0807.设y?esinx?sinx2，求y?
解
y??(esinx)??(sinx2)??esinxcosx?2xcosx20801.设y?xex2，求
y?
解：
y??(x)?ex2?x(ex2)??ex2?2x2ex2
0707.设y?esinx?x2，求y?
解：
y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x
0701.设
y?lnx?cosex，求y?
解：y??(lnx)??sinex.(ex)??1?exsinexx （三）积分计算：（2小题，共22分）
凑微分类型1：??1?1x2dx???d(x)
11-1计算
cos?xdx
x2cos1解：
?x?cos111x2dx??xd(x)??sinx?c
sin10707.计算
?xx2dx． sin1解：
?xx2dx???sin1xd(1x)?cos1x?c 1x11解：
?ex2dx???exd(1x)??ex?c
凑微分类型2：??1xdx?2??dx .计算
?cosxxdx．
解：
?cosxxdx?2?cosxdx?2sinx?c
0807.计算
?sinx
xdx． 解：
?sinxxdx?2?sinxdx??2cosx?c
x0801.计算
?e
xdx?ex解：
x?2exxdx?2?exd?c
凑微分类型
3：
??1， xdx???dlnx??1xdx???d(a?lnx) 1-1计算?1xlnxdx 解：?1dlnx1xlnxdx??lnx??udu?ln|lnx|?c
1-2.计算
?e2?lnx1xdx
?e2?lnxee1xdx??(2?lnx)d(2?lnx)?12(2?lnx)2?5
1125 定积分计算题，分部积分法 3
?xalnxdx?a?1?lnxdxa?1?a?1xa?1lnx?a?1?xadx?a?1lnx?(a?1)2xa?1?c计算
?e1xlnxdx
解：
a?1，
?xlnxdx?12?lnxdx2?12x2lnx?124x?c?exlnxdx?12?e1lnxdx2?(x2x2e1?e2 12lnx?4)1?4?e1lnxdx?(xlnx?x)e1?(e?e)?(0?1)?1 计算
?elnx1x2dx 解：a??2 ， ?lnxx2dx???lnxd(111x)??xlnx?x?c
?elnxx2dx???e1lnxd(1x)?(?lnx1e2x?x)1?1?e
1e计算
?lnx1xdx
解：a??1
2， ?lnxxdx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c
?elnx1xdx=2?elnxdx?(2xlnx?4x)e11??2e?4
0807
?e321xlnxdx?23?e31lnxd x?(2323242e24
3xlnx?9x)1?9e?90707
?e1x2lnxdx?1elnxdx3?(1x3lnx?1x3)e3?1391?29e3?1 9 类型2 ?xeaxdx?1ax1ax1axa?xd(e)?axe?a2e?c
高等数学基础归类复习
