江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学试题卷（二年级）
注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授
1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．
3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限lim(2xsin?x??1xsin3x)?() xA.0B.2C.3D.5 2、设f(x)?(x?2)sinx,则函数f(x)的第一类间断点的个数为()
x(x2?4)A.0B.1C.2D.3
3、设f(x)?2x?5x，则函数f(x)() A.只有一个最大值B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值 4、设z?ln(2x)?在点(1,1)处的全微分为() A.dx?3dyB.dx?3dyC.dx?3dyD.dx?3dy 5、二次积分? dy?f(x,y)dx在极坐标系下可化为() 0y 1 112323y1212A.?d??0C.??d??0 4 2 4 0? sec?f(?cos?,?sin?)d?B.?d?? 4 0? sec?0f(?cos?,?sin?)?d?
? sec?f(?cos?,?sin?)d?D.??d?? 4 2? sec?0f(?cos?,?sin?)?d?
6、下列级数中条件收敛的是()
???(?1)n(?1)nnn3nA.?(?1)B.?(?1)()C.?2D.?
n2n?12nn?1n?1n?1n?1?n二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7要使函数f(x)?(1?2x)在点x?0处连续，则需补充定义
f(0)?_________．
2?e2x，则y(7)(0)?____________． 8、设函数y?x(x2?2x?1）1x9、设y?xx(x?0)，则函数y的微分dy?___________．
b?2，10、设向量a,b互相垂直，且a?3，，则a?2b?___________．
??????11、设反常积分?ae?xdx?，则常数a?__________．
(?1)n12、幂级数?n(x?3)n的收敛域为____________．
n?1n3???12三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
x2?2cosx?213、求极限lim． x?0x3ln(1?x)1?x?t?dyd2y?14、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，求,2． tdxdx?y?t2?2lnt?15、求不定积分?2x?1dx． 2cosx 216、计算定积分? 11dx．
x2x?117、已知平面?通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面?平行，又与x轴垂直的直线方程．
18、设函数z?f(x,xy)??(x2?y2)，其中函数f具有二阶连续偏导数，
?2z函数?具有二阶连续导数，求．
?x?y19、已知函数f(x)的一个原函数为xex，求微分方程y???4y??4y?f(x)的通解．
20、计算二重积分??ydxdy，其中D是由曲线y?x-1，直线y?x及xD12轴所围成的平面闭区域．
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、在抛物线y?x2(x?0)上求一点P，使该抛物线与其在点P处的切线及x轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
22、已知定义在(??,??)上的可导函数f(x)满足方程
xf(x)?4?f(t)dt?x3?3，试求：
1x23（1）函数f(x)的表达式； （2）函数f(x)的单调区间与极值； （3）曲线y?f(x)的凹凸区间与拐点．
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当0?x?1时，arcsinx?x?x3．
16?xg(t)dt??24、设f(x)??02 x?0，其中函数g(x)在(??,??)上连续，且
x?g(0) x＝0?limg(x)1?3证明：函数f(x)在x?0处可导，且f?(0)?． x?01?cosx2一．选择题 1-5BCCABD 二．填空题
7-12e?2128xn(1?lnx)dx5ln2(0,6] 三．计算题
x2?2cosx?213、求极限lim． 3x?0xln(1?x)x2?2cosx?22x?2sinxx?sinx?lim?lim原式=lim 433x?0x?0x?0x4x2x1?x?t?dyd2y?14、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，求,2． tdxdx?y?t2?2lnt?d()dy2dydx2t?d()22dydttdy22tdxdt???2t原式= ????22dx1dxdx1dxdx1?21?2t?1dttdttdy15、求不定积分?原式=?2x?1dx． 2cosx2x?1dx??(2x?1)dtanx?(2x?1)tanx??tanxd(2x?1) cos2x 216、计算定积分? 11dx．
x2x?1 3 33?t1dt?2dt?2arctant? ? 11?t21?t261t2原式=令2x?1?t，则原式=? 117、已知平面?通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面?平行，又与x轴垂直的直线方程．
解：平面?的法向量n?OM?i?(0,3,?2)，直线方向向量为
????S?n?i?(0,?2,?3),
??直线方程：
x?1y?1z?1 ??0?2?318、设函数z?f(x,xy)??(x2?y2)，其中函数f具有二阶连续偏导数，
?2z函数?具有二阶连续导数，求．
?x?y?2z?z???x?f2??xyf22???2x?2y???? ?f12解：?f1??f2??y????2x?x?y?x19、已知函数f(x)的一个原函数为xex，求微分方程y???4y??4y?f(x)的通解．
解：f(x)?(xex)??(x?1)ex，先求y???4y??4y?0的通解，特征方程：
r2?4r?4?0，
?2xr1、.令特解为y??(Ax?B)ex， 2??2，齐次方程的通解为Y?(C1?C2x)e代入原方程得：9Ax?6A?9B?x?1，有待定系数法得：
1?A???9A?19，所以通解为Y?(C?Cx)e?2x?(1x?1)ex ，解得??121927?6A?9B?1?B?27?20、计算二重积分??ydxdy，其中D是由曲线y?x-1，直线y?x及xD12轴所围成的平面闭区域．
ydy?原式=? 0 2y 1 y2?1dx?1. 12四．综合题
江苏省专转本高数真题及答案
