实用文案
AODAODB【解析】 连接AC．
CEBCE
由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，
根据梯形蝴蝶定理，SVCOE:SVAOC:SVDOE:SVAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以SVAOC?6(平方厘米)，SVAOD?9(平方厘米)，又SVABC?SVACD?6?9?15(平方厘米)，阴影部分面积为6?15?21(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部
分的面积是 平方厘米．
A9214B【分析】 连接AE．
DA921O4C
DEBEC
由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE． 根据蝴蝶定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD2?36， 所以S?OCD?6(平方厘米)．
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单
位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A8162B【解析】 连接AE．
DA816O2CBEDEC
由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
根据蝴蝶定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?16，故S?OCD2?16，所以S?OCD?4(平方厘米)．
11另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?SYABED???16?8??12(平方厘米)，
22所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．
【例 20】
如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，?DEF的面积是5平方厘米，?CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
标准
实用文案
AF5E10DAF5E10DBC
【分析】 连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平
C方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10?10?5?20(平方厘米)，所以长方形的面积为
B?20?10??2?60(平方厘米)．四边形ABEF的面积为60?5?10?20?25(平方厘米)．
【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，?DEF的面积是4平方厘米，?CED的面积是6
平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
AF4E6DAF4E6DBC
【解析】 (法1)连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6?6?4?9(平方厘米)，所以长方形的面积为?9?6??2?30(平方厘米)．四边形ABEF的面积为30?4?6?9?11(平方厘米)． (法2)由题意可知，
BCEF42EDEF2??，根据相似三角形性质，??，所以三角形BCE的面积为：EC63EBEC32?9(平方厘米)．则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15?2?30(平方厘米)．四3边形ABEF的面积为30?4?6?9?11(平方厘米)． 6?
【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？ AOBD
【解析】 因为连接ED知道△ABO和△EDO的面积相等即为54，又因为OD∶OB=16∶9,所以△AOD的面积
为54?9?16?96，根据四边形的对角线性质知道：△BEO的面积为：54?54?96?30.375，所以四边形OECD的面积为：54?96?30.375?119.625(平方厘米).
【例 21】
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．
EC标准
实用文案
AE25O8DF?BAE25O8F?B
【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SVFOC，又根据蝴蝶定理，
S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，
CDC那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积S?ECD?4?8?12(平方厘米)．为24?5?2?8?9(平方厘米)．
【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的
长是9．那么四边形OECD的面积是 ．
ADADOO
BEC11【解析】 解法一：连接DE，依题意SVAOB??BO?AO??9?AO?54，所以AO?12，
2211则SVAOD??DO?AO??16?12?96．
2213又因为SVAOB?SVDOE?54??16?OE，所以OE?6，
241133得SVBOE??BO?EO??9?6?30，
224835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119．
8816 解法二：由于SVAOD:SVAOB?OD:OB?16:9，所以SVAOD?54??96，而SVDOE?SVAOB?54，根据
93蝴蝶定理，SVBOE?SVAOD?SVAOB?SVDOE，所以SVBOE?54?54?96?30，
835所以SOECD?SVBDC?SVBOE?SVABD?SVBOE??54?96??30?119．
88
【例 23】
如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形
BEC
DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？
DKBEAGDKAG
【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和
标准
FCBEMFC实用文案
而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的?ACK的面积是相等的．的面积也是?ABC面积的
11那么?BDK?，
1?341． 4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且
AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正
方形DEFG的面积相等，为48．
1那么?BDK的面积为48??12．
4
【例 24】
如图所示，ABCD是梯形，?ADE面积是1.8，?ABF的面积是9，?BCF的面积是27．那么阴
AEFD影?AEC面积是多少？
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC，而S?AFB?S?DFC(等积变换)，所以可得
S?S?CDF9?9S?AFD??AFB??3，
S?BFC27并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2，而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3， 所以阴影?AEC的面积是：S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8．
【例 25】
如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
2124421BC
【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把
88六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积?6?．
1832
【例 26】
如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
A③①④F⑥②⑤B
【解析】 因为E是DC中点，F为AC中点，有AD?2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形
②×⑤=③×④，②：⑤=AD2： FE2=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6?(4?1)?2，ADEF中有③=④，
标准
DEC实用文案
②=⑤?4?8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8?4?4?2?18．有VCEF与VADC的面积比为CE平方与CD平方的比，
444即为1:4．所以VADC面积为梯形ADEF面积的=，即为18??24．因为D是BC中点，所
4-133以VABD与VADC的面积相等，而VABC的面积为VABD、VADC的面积和，即为24?24?48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．
【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在
分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．
【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定
理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22，阴影部分的面积为6?6?22?14．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:6?1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
9比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面
1677积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为
16167?(62?22)?14． 16
【例 28】
如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连接BF、
DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为
S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．
AQDFAQDFMGNMGN
标准
BEPC
BEPC
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..
