课标通用版2024版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词检

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[基础题组练]

1．下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R，e>0 B．?x∈N，x>0 C．?x0∈R，ln x0<1 π*

D．?x0∈N，sinx0＝1

2

解析：选B.对于B，当x＝0时，x＝0，因此B中命题是假命题．

2．(2024·太原模拟试题(一))已知命题p：?x0∈R，x0－x0＋1≥0；命题q：若a

则>，则下列为真命题的是( )

2

2

2

xabA．p∧q C．(﹁p)∧q

B．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选B.对于命题p，当x0＝0时，1≥0成立，所以命题p为真命题，命题﹁p为假11

命题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，<，所以命题q为假命题，命题﹁q为真命题，

ab所以p∧(﹁q)为真命题，故选B.

12

3．(2024·辽宁五校协作体联考)已知命题“?x∈R，4x＋(a－2)x＋≤0”是假命题，4则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，0) C．[4，＋∞)

B．[0，4] D．(0，4)

12

解析：选D.因为命题“?x∈R，4x＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R，

411222

4x＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)－4×4×＝a－4a<0，解得0

44

4．(2024·湖北八校联考)下列说法正确的个数是( )

①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题； ③“?x0∈R，x0－x0<0”的否定是“?x∈R，x－x>0”； ④“a＋1>b”是“a>b”的一个必要不充分条件． A．0 C．2

B．1 D．3

2

2

解析：选C.对于①，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故②正确；对于③，“?x0∈R，x0－x0<0”的否定是“?x∈R，x－x≥0”，故③不正确；对于④，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故④正确．故选C.

5．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为____________________． 解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：?x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1

6．已知命题p：x＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3， 因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3

7．由命题“存在x0∈R，使x0＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．

解析：因为命题“存在x0∈R，使x0＋2x0＋m≤0”是假命题，所以命题“?x∈R，x＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝2－4m<0，即m>1，故a＝1.

答案：1

8．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧(﹁q)为真命题，求实数a的取值范围．

解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减?0

122

曲线y＝x＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点?Δ＝(2a－3)－4＞0?a<或a＞

25. 2

所以若p为真命题，则0

若q为真命题，则a<或a＞.

22因为p∧(﹁q)为真命题， 所以p为真命题，q为假命题．

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2≤a≤?22?

?1?所以实数a的取值范围是?，1?.

?2?

[综合题组练]

1．已知命题p：?x∈R，x＋1<2x；命题q：若mx－mx＋1>0恒成立，则0

A．“﹁p”是假命题 C．“p∨q”为假命题

2

2

2

2

B．q是真命题 D．“p∧q”为真命题

2

2

解析：选C.因为x＋1<2x，即x－2x＋1<0，也即(x－1)<0，所以命题p为假；若mx??m>0，－mx＋1>0恒成立，则m＝0或?则0≤m<4，所以命题q为假，故选C. 2

?Δ＝m－4m<0，?

2．已知命题p：?x∈R，2<3，命题q：?x∈R，x＝2－x，若命题(﹁p)∧q为真命题，则x的值为( )

A．1 C．2

xxxx2

B．－1 D．－2

解析：选D.因为﹁p：?x∈R，2≥3，要使(﹁p)∧q为真，所以﹁p与q同时为真．由

?2?22

2≥3得??≥1，所以x≤0，由x＝2－x得x＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2，又x≤0，

?3?

xxx所以x＝－2.

3．下面说法正确的是( )

A．命题“存在x∈R，使得x＋x＋1≥0”的否定是“任意x∈R，使得x＋x＋1≥0” 11

B．实数x>y是<成立的充要条件

2

2

xyC．设p，q为简单命题，若“p或q”为假命题，则“﹁p或﹁q”也为假命题 D．命题“若x－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题

解析：选D.命题“存在x∈R，使得x＋x＋1≥0”的否定是“任意x∈R，使得x＋x＋1111

1<0”，故A说法错误．当实数x>0>y时，>，则<不成立，故B说法错误．“p或q”为

2

2

2

xyxy假命题，则命题p和q都是假命题，则﹁p是真命题，﹁q是真命题，所以﹁p或﹁q为真，故C说法错误．若x－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，D说法正确．故选D.

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4．(应用型)已知命题“?x∈R，x－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值

2范围是________．

2