1?2
所以??a＋1?＝16， 11所以a＝－或a＝. 531
又因为a>0，所以a＝.
3
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
? 知识点四：指数的其他综合题目
【试题来源】
【题目】画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：（1）y?|2x?|x|?2|；（2）y?2
【答案】见解析
【解析】
x?2?2(x?1)?xy?|2?2|?1）， ?x??2?2(x?1)由图象可得函数y?|2x?2|递增区间为?1,???,递减区间为???,1?.
(2) y?2?|x|?1x?()(x?0)， ??2?2x(x?0)?由图象可得函数
y?2?|x|递增区间为???,0?,递减区间为
?0,???
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
－
【题目】设函数f(x)＝kax－ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； 3－
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值
2
【答案】（1）{x|x>1，或x<－4}，（2）-2 【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1. 1
(1)∵f(1)>0，∴a－>0，
a
又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝ax－ax，
－
∵f′(x)＝axln a＋ax ln a＝(ax＋ax)ln a>0，
－
－
∴f(x)在R上为增函数．
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)， ∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0， ∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}． 313
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，
2a21
∴a＝2或a＝－(舍去)，
2∴g(x)＝22x＋2
－2x
－4(2x－2x)＝(2x－2x)2－4(2x－2x)＋2.
－
－
－
令t(x)＝2x－2x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
－
3
即t(x)≥t(1)＝，
2
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2， ∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)． 即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
1?ax2－4x＋3
【题目】已知函数f(x)＝?. ?3?(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．
【答案】（1）递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)（2）a=1 1?－x2－4x＋3【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝?， ?3?
令t＝－x2－4x＋3，
1?t
由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝??3?在R上单调
递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
1?h(x)
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝??3?，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
a>0，??
解得a＝1. ?12a－16
＝－1，??4a
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3
课后练习 【试题来源】
＋
【题目】不等式4x－2x2>0的解集为________ 【答案】(2，＋∞)
＋
【解析】由4x－2x2>0，可得(2x)2－4×2x>0，解得2x(2x－4)>0，解得2x<0(舍)或2x>4，解得x>2
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2
【试题来源】
132x－x?·【题目】对于函数f(x)＝?2?x和实数m，n，下列结论中正确的是________．(填序号) ?①若m 11 2x－x?·【解析】由题意可知，函数f(x)＝?2?x3是定义在R上的偶函数，当x>0时，函数y＝?11 2x－x>0且单调递增，函数y＝x>0且单调递增，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在 23(－∞，0]上单调递减．∴由f(m) 1 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】若不等式4x－2x1－a≥0在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围为________ ＋ 【答案】(－∞，－1] 【解析】原不等式可化为a≤4x－2×2x，当x∈[－1,1]时，该不等式恒成立，令2x＝t，则t1?2 ，2，t－2t＝(t－1)2－1，故t2－2t最小值为－1， ∈??2?∴a≤－1. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 2(x?R)， 2x?1（1）求a的值，使函数f(x)为奇函数 【题目】设a是实数，f(x)?a?（2）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数 【答案】见解析 22?2x?a?【解析】（1）∵f(?x)?a??xx， 2?11?2由f(x)是奇函数，∴f(x)?f(?x)?0 2(1?2x)?0，∴a?1. 即2a?x1?2（2）证明：设x1,x2?R,x1?x2，则 22f(x1)?f(x2)?(a?x)?(a?) x212?12?122 ?x2?x12?12?12(2x1?2x2)?x1， (2?1)(2x2?1)由于指数函数y?2x在R上是增函数，且x1?x2，所以2x1?2x2即2x?2x?0， 12又由2x?0，得2x1?1?0，2x2?1?0， 所以，f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)． 【知识点】指数函数的图像与性质同步 因为此结论与a 取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数. 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3 【试题来源】 ax?1【题目】已知f(x)=x（a>0,且a?1） a?1(1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断f(x)与的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性； 【答案】（1）定义域为R， 值域为（-1，1） （2）f(－x) = －f(x) ax?1ax?1 （3）当a>1时，f(x)=x在定义域上为增函数；当0 a?1a?1上为减函数。 【解析】根据函数的奇偶姓和单调性定义，很容易得出。 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知函数f(x)＝|2x－1|，a ①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0； ② 2a<2c；④2a＋2c<2. － 【答案】④ 【解析】 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图)， 由图象可知，a<0，b的符号不确定，c>0. 故①②错； ∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|， ∴|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1， 故2a＋2c<2，④成立； 【知识点】指数函数的图像与性质同步
53 指数函数的图像与性质同步（讲师版）
