1?2
所以??a+1?=16, 11所以a=-或a=. 531
又因为a>0,所以a=.
3
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
? 知识点四:指数的其他综合题目
【试题来源】
【题目】画出函数的图象并根据图象求它的单调区间:(1)y?|2x?|x|?2|;(2)y?2
【答案】见解析
【解析】
x?2?2(x?1)?xy?|2?2|?1), ?x??2?2(x?1)由图象可得函数y?|2x?2|递增区间为?1,???,递减区间为???,1?.
(2) y?2?|x|?1x?()(x?0), ??2?2x(x?0)?由图象可得函数
y?2?|x|递增区间为???,0?,递减区间为
?0,???
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
-
【题目】设函数f(x)=kax-ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集; 3-
(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值
2
【答案】(1){x|x>1,或x<-4},(2)-2 【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,∴k-1=0,即k=1. 1
(1)∵f(1)>0,∴a->0,
a
又a>0且a≠1,∴a>1,f(x)=ax-ax,
-
∵f′(x)=axln a+ax ln a=(ax+ax)ln a>0,
-
-
∴f(x)在R上为增函数.
原不等式可化为f(x2+2x)>f(4-x), ∴x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0, ∴x>1或x<-4,
∴不等式的解集为{x|x>1,或x<-4}. 313
(2)∵f(1)=,∴a-=,即2a2-3a-2=0,
2a21
∴a=2或a=-(舍去),
2∴g(x)=22x+2
-2x
-4(2x-2x)=(2x-2x)2-4(2x-2x)+2.
-
-
-
令t(x)=2x-2x(x≥1),则t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),
-
3
即t(x)≥t(1)=,
2
∴原函数变为w(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, ∴当t=2时,w(t)min=-2,此时x=log2(1+2). 即g(x)在x=log2(1+2)时取得最小值-2. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
1?ax2-4x+3
【题目】已知函数f(x)=?. ?3?(1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值.
【答案】(1)递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2)(2)a=1 1?-x2-4x+3【解析】(1)当a=-1时,f(x)=?, ?3?
令t=-x2-4x+3,
1?t
由于t(x)在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=??3?在R上单调
递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
1?h(x)
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=??3?,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有
a>0,??
解得a=1. ?12a-16
=-1,??4a
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3
课后练习 【试题来源】
+
【题目】不等式4x-2x2>0的解集为________ 【答案】(2,+∞)
+
【解析】由4x-2x2>0,可得(2x)2-4×2x>0,解得2x(2x-4)>0,解得2x<0(舍)或2x>4,解得x>2
【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2
【试题来源】
132x-x?·【题目】对于函数f(x)=?2?x和实数m,n,下列结论中正确的是________.(填序号) ?①若m 11 2x-x?·【解析】由题意可知,函数f(x)=?2?x3是定义在R上的偶函数,当x>0时,函数y=?11 2x-x>0且单调递增,函数y=x>0且单调递增,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,在 23(-∞,0]上单调递减.∴由f(m) 1 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】若不等式4x-2x1-a≥0在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为________ + 【答案】(-∞,-1] 【解析】原不等式可化为a≤4x-2×2x,当x∈[-1,1]时,该不等式恒成立,令2x=t,则t1?2 ,2,t-2t=(t-1)2-1,故t2-2t最小值为-1, ∈??2?∴a≤-1. 【知识点】指数函数的图像与性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 2(x?R), 2x?1(1)求a的值,使函数f(x)为奇函数 【题目】设a是实数,f(x)?a?(2)试证明:对于任意a,f(x)在R为增函数 【答案】见解析 22?2x?a?【解析】(1)∵f(?x)?a??xx, 2?11?2由f(x)是奇函数,∴f(x)?f(?x)?0 2(1?2x)?0,∴a?1. 即2a?x1?2(2)证明:设x1,x2?R,x1?x2,则 22f(x1)?f(x2)?(a?x)?(a?) x212?12?122 ?x2?x12?12?12(2x1?2x2)?x1, (2?1)(2x2?1)由于指数函数y?2x在R上是增函数,且x1?x2,所以2x1?2x2即2x?2x?0, 12又由2x?0,得2x1?1?0,2x2?1?0, 所以,f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2). 【知识点】指数函数的图像与性质同步 因为此结论与a 取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)在R为增函数. 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3 【试题来源】 ax?1【题目】已知f(x)=x(a>0,且a?1) a?1(1)求f(x)的定义域和值域; (2)判断f(x)与的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性; 【答案】(1)定义域为R, 值域为(-1,1) (2)f(-x) = -f(x)
53 指数函数的图像与性质同步(讲师版)
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