导数-双变量问题
1.构造函数利用单调性证明 2.任意性与存在性问题 3.整体换元—双变单 4.极值点偏移 5.赋值法
构造函数利用单调性证明
形式如：|f(x1)?f(x2)|?m|x1?x2| 方法：将相同变量移到一边，构造函数
1.已知函数f(x)?(x2?)(x?）对任意x1,x2???1,0?，不等式|f(x1)?f(x2)|?m恒成立，试求m的取值范围。
2.已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1.设a??1,如果对?x1,x2?(0,??),有
23294|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|,求实数a的取值范围.
23.已知函数f(x)?aln(x?1)?x区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p?q时，若不等式
f(p?1)?f(q?1)?1恒成立，求实数a的取值范围。
p?q4.已知函数f(x)?12x?2alnx?(a?2)x,a?R．是否存在实数a，对任意的 2f(x2)?f(x1)?a，恒成立，若存在求出a的取值范围，
x2?x1x1,x2??0,???，且x2?x1，有
若不存在，说明理由．
练习1：已知函数f(x)?alnx?x,若a?0,且对任意的x1,x2?[1,e]，都有
2|f(x1)?f(x2)|?|11?|,求实数a的取值范围． x1x2练习2.设函数
f(x)?lnx?mf(b)?f(a),m?R.若对任意b?a?0,?1恒成立， xb?a求m的取值范围.
5.已知函数f(x)?12x?ax??a?1?lnx,a?1 2（1）讨论函数的单调性
（2）证明：若a?5，则对任意的x1,x2??0,???，且x2?x1，有f(x2)?f(x1)恒
x2?x1成立
6.设函数f?x??emx??1?x2?mx
（1）证明：f?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增；
（2）若对于任意x1,x2???1,1?，都有|f(x1)?f(x2)|?e?1，求m的取值范围。
任意与存在性问题
a21.已知函数f?x??x?，g?x??x?lnx，其中a?0．
x（1）若函数y?f?x?在?1,e?上的图像恒在y?g?x?的上方，求实数a的取值范围．
（2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，
求实数a的取值范围．
1f(x)?x3?x2?3x?12g(x)??x?2x?a 32.已知函数，
（1）讨论方程f(x)?k（k为常数）的实根的个数。 （2）若对任意（3）若对任意（4）若对任意
x??0,2?x??0,2?，恒有f(x)?a成立，求a的取值范围。 ，恒有，存在
f(x)?g?x?x2??0,2?成立，求a的取值范围。
x1??0,2?，恒有
f(x1)?g?x2?成立，求a的取值范围。
整体换元——双变单
1.已知函数f(x)?ax?lnx.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a?0时，设斜率为k的直线与函数y?f(x)相交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)
2(x2?x1)，求证：x1?1?x2． k练习1.已知函数f(x)?12x?2x,g(x)?logax(a?0,且a?1),其中a为常数，如果 2且h?(x)存在零点（h?(x)为h(x)的导函数）． h(x)?f(x)?g(x)在其定义域上是增函数，（I）求a的值；
（II）设A(m,g(m)),B(n,g(n))(m?n)是函数y?g(x)的图象上两点，
g(n)?g(m)(g?(x)为g(x)的导函数),证明:m?x0?n.
n?ma?12练习2.已知函数f(x)?lnx?ax?1,g(x)?x，a?R；
2g?(x0)?（1）已知a?2，h(x)?f(x)?g(x)，求h(x)的单调区间； （2）已知a?1，若0?x1?x2?1，f?(t)?f(x2)?f(x1)x?x2(x1?t?x2)，求证：t?1
x2?x12f?a??f?b?f?b??f?a?练习3.已知函数f?x??e,x?R，设a?b，比较与的大小，
2b?ax并说明理由。
2.已知函数f?x??ln?x?a??x有且只有一个零点，其中a＞0. （Ⅰ）求a的值；
（II）设h?x??f?x??x，对任意x1,x2???1,????x1?x2?，证明：不等式
x1?x2＞x1x2?x1?x2?1恒成立.
h?x1??h?x2?3.已知f(x)?2lnx?x?ax在(0,??)内有两个零点x1,x2，求证：f'(2x1?x2)?0。 2练习.已知函数f(x)＝lnx－mx（mR），若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2． 4.已知函数f(x)?xln?ax??a?0?
22af'x?x??（1）若对任意的x?0恒成立，求的取值范围
（2）当a?1时，设函数g(x)?f?x??1?x,x?12?,1?,x1?x2?1，求证：，若x?e?x1x2??x1?x2?。
4对称轴问题x1?x2的证明
1.已知函数f?x??xe?x．
(1)求函数f?x?的单调区间和极值；
(2)已知函数y?g?x?的图象与函数y?f?x?的图象关于直线x?1对称．证明：当x?1时，f?x??g?x?；
(3)如果x2?x1，且f?x1??f?x2?，证明：x1?x2?2 2.已知函数f?x??ax?x2?xlna?a?0,a?1?(1)求函数f?x?的单调区间；
(2)a?1，证明:当x??0,???时，f?x??f??x?
(3)若对任意x2?x1，且当f?x1??f?x2?时，有x1?x2?0，求a的取值范围. 练习.已知函数f?x??xlnx． (1)求函数f?x?的单调区间和极值；
(2)如果x2?x1，且f?x1??f?x2?，证明：x1?x2?
2 e赋值法
1.已知函数f?x??rx?xr??1?r??x?0?，其中r为有理数，且0?r?1 （1）求f?x?的最小值；
（2）试用（1）的结果证明：若a1?0,a2?0,b1,b2为正有理数，若b1?b2?1，则
b2a1b1a2?a1b1?a2b2
（3）将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。 2.已知函数f?x??lnx,g?x??ln??x?1?????lnx,???0,1?； （1）证明：x?[1,??),g?x??0恒成立
（2）若正数?1,?2满足?1??2?1，证明：对于任意正数x1?x2，都有
f??1x1??2x2???1f?x1???2f?x2?
（3）若正数?1,?2,?3满足?1??2??3?1，试类比（2）的结论，写出一个正确的结论，并证明。
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