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2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）全集U??1,2,3,4,5,6,7,8? ，A??2,3,5,6? ，B??1,3,4,6,7? ，则集合 为
（A）?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8?
?x?2?（2）设变量x,y 满足约束条件?0?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值
??2x?y?3?0为
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A）?10 （B）6（C）14（D）18
（4）设x?R ，则“x?2?1 ”是“x2?x?2?0 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE 分别经过点M,N .若CM?2,MD?4,CN?3则线段NE 的长为 （A）
83 （B）3（C）103 （D）52 x2（6）已知双曲线a?y22b2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点?2,3? ，且双曲线的
一个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为
（A）
x2y2x2y2x2y2x221?28?1 （B）28?21?1（C）y23?4?1（D）4?3?1 （7）已知定义在R 上的函数f?x??2x?m?1 （m 为实数）为偶函数，记a?log0.53,b?f?log25?,c?f?2m?则a,b,c 的大小关系为
， ，
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（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a
??2?x,x?2,（8）已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R ，若函数y?f?x??g?x? 恰有2???x?2?,x?2,4个零点，则b的取值范围是 （A）?7??7???7??7?,??? （B）???,? （C）?0,?（D）?,2?
4??4???4??4?二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积 为 m .
（11）曲线y?x 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为 .
231??2x（12）在?x? 的展开式中， 的系数为 . ?4x??（13）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?ABC的面积为315 ，b?c?2,cosA??61, 则4a 的值为 .
（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,BE??BC,DF?1DC, 则AE?AF 的最小值为 . 9?三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数f?x??sinx?sin?x?22?????，x?R 6?(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值. 3416. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
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(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱
A1A?底面ABCD,AB?AC,AB1,AC别为B1C和D1D的中点.
AA12,ADCD5,且点M和N分
(I)求证：MN平面ABCD； (II)求二面角D1-ACB1的正弦值；
(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为
1，求线段A1E的长 3*18. （本小题满分13分）已知数列{an}满足an?2?qan(q为实数，且q?1)，n?N,a1?1,a2?2，且
a2a3,a3a4,a4a5成等差数列.
(I)求q的值和{an}的通项公式； (II)设bn?log2a2n｛bn｝,n?N*，求数列的前n项和.
a2n?1x2y2319. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(ab0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点M在椭圆上且位于
3ab第一象限，直线FM被圆x+y2243b4截得的线段的长为c，|FM|=.
34(I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围. 20. （本小题满分14分）已知函数f(x)?nx?x,x?R，其中n?N,n?2.
n*(I)讨论f(x)的单调性； (II)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x),求证：对于任意的正实数x，都
有f(x)?g(x)；
(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|
a1n2
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2015年度天津高等考试数学(理科)试题及图片版答案解析
