第62课 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2012天津高考）设m,n?R，若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)?(y?1)?1相切，则m?n的取值范围是（ ）
A．[1?3,1?3] B．(??,1?3][1?3,??) C．[2?22,2?22] D．(??,2?22][2?22,??) 【答案】D
【解析】圆心为(1,1)，半径为1，直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离满足∴m?n?1?mn?(设m?n?z，即
22（|m?1)?(n?1)?2|(m?1)?(n?1)22?1，
m?n2)， 212z?z?1?0， 4解得z?2?22,或z?2?22．
2222．（2012广州一模）已知圆O：x?y?r，点P?a，b?（ab?0）是圆O内一点，过点P的圆O的
最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax?by?r?0，那么（ ） A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1?l2，且l2与圆O相切 C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1?l2，且l2与圆O相离 【答案】A
【解析】依题意可知OP?l1，∵kOP?∴直线l1的方程为y?b??2ba，∴kl1??， aba(x?a)， b22即ax?by?(a?b)?0．∴l1∥l2．
222∵点P?a，b?是圆O内一点，∴a?b?r， ∵圆心O到直线l2的距离d?∴l2与圆O相离．
3．（2012东莞一模）已知直线l：x?2y?k?1?0被圆C：x?y?4所截得的弦长为2，则OA?OB的值为 ． 【答案】2
【解析】依题意可得：?AOB为等边三角形，
22r2a?b22?r2r2?r，
1?2． 24．（2012天津高考）设m,n?R，若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与
22圆x?y?4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则?AOB面积的最小值为 ． 【答案】3
11【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为A(0,),B(,0)，
nm直线与圆相交所得的弦长为2，
圆心到直线的距离d满足d2?r2?12?3，∴d?3，
∴OA?OB?OA?OBcos60?2?2? 1
∴圆心到直线的距离d?∴m2?n2??1m?n22?3，
1． 311111∴S?AOB????2?3， 22mn2mnm?n1当且仅当m?n?时取等号，∴最小值为3．
6x2?y2?2和圆C2，5．已知圆C1：直线l与圆C1相切于点A(1,1)，圆C2的圆心在射线2x?y?0(x?0)上，圆C2过原点，且被直线l截得的弦长为43． （1）求直线l的方程；
（2）求圆C2的方程．
【解析】（1）∵ AO?l，∴ kl??又 ∵ 切点为A(1,1)，
∴ 直线l的方程是y?1??(x?1)，即x?y?2?0． （2）设圆心C2(a,2a)(a?0)，则r?5a， ∵ C2到直线l的距离d?1??1． kOA|3a?2|， 2(3a?2)2?12?5a2， ∴
22化简得a?12a?28?0， 解得a?2或a??14（舍去）．
22∴ C2的方程是(x?2)?(y?4)?20．
228．已知圆O：x?y?1，圆C：(x?2)?(y?4)?1，由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB，
22切点分别为A、B，且满足|PA|?|PB|． （1）求实数a、b间满足的关系式； （2）求切线长|PA|的最小值；
（3）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程，若不存在，说明理由．
【解析】（1）∵ |PA|?|PO|?1，|PB|?|PC|?1， ∴ a?b?(a?2)?(b?4)， ∴ a?2b?5?0为a,b满足的关系式． （2）|PA|?|PO|?1?(5?2b)?b?1
2222222222?5(b?2)2?4，
∴ 当b?2时，|PA|min?2．
（3）假设存在半径为r的圆P，满足题设，
则|PO|?r?1，|PC|?r?1，∴ |PC|?|PO|?2，
即(a?2)?(b?4)?22a2?b2?2，
化简得 a2?b2?4?(a?2b)，
又 ∵a?2b?5，∴a2?b2??1，不可能． ∴不存在这样的圆P．
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广东专用高考数学第一轮复习用书 第课 直线与圆圆与圆的位置关系 文
