第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理 1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 p?q且q?/ p p?/ q且q?p p?q p?/ q且q?/ p [注意] 不能将“若p,则q”与“p?q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p?q”,即“p?q”?“若p,则q”为真命题.
常用结论
1.充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件.
(2)若p是q的充分不必要条件,则綈q是綈p的充分不必要条件.
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2.一些常见词语及其否定
词语 否定 二、习题改编 1.(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x>y,则x>y”的逆否命题是( ) A.“若x 2 2 2 2 2 2 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于 B.“若x>y,则x>y” D.“若x≥y,则x≥y” 2 2 2 2 22 解析:选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x>y,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x≤y”.故选C. 2.(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 解析:选B.若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.故选B. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x+2x-3<0”是命题.( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( ) (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ) (5)q不是p的必要条件时,“p?/ q”成立.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区 (1)不明确命题的条件与结论; (2)对充分必要条件判断错误; (3)含有大前提的命题的否命题易出错. π 1.命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ) 3A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 2 2 解析:选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列,则π △ABC有一内角为”,它是真命题. 3 2.已知p:a<0,q:a>a,则綈p是綈q的________条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要). 解析:綈p:a≥0;綈q:a≤a,即0≤a≤1,故綈p是綈q的必要不充分条件. 答案:必要不充分 3.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是____________. 答案:存在a,b∈R,若ab≤0,则a≤0. 四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研) (2020·长春质量检测(二))命题“若x<1,则-1 【解析】 命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为“若綈q,则綈p”的形式,所以“若x<1,则-1 222 2 2 2 2 2 x2≥1”.故选D. 【答案】 D (1)判断命题真假的两种方法 (2)由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题. 3 1.命题“若a+b=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ) A.若a+b≠0,则a≠0且b≠0 B.若a+b≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a+b≠0 D.若a≠0或b≠0,则a+b≠0 解析:选D.“若a+b=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a+b≠0”,故选D. 2.(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题,其中真命题是( ) ①“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题; ②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题; ③“若b≤0,则方程x-2bx+b+b=0有实根”的逆否命题; ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题. A.①② C.②③④ B.①②③④ D.①③④ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 解析:选B.①“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题为“若lg x+lg y=0,则xy=1”,该命题为真命题; ②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题为“若a·b≠a·c,则a不垂直(b-c)”,由a·b≠a·c可得a(b-c)≠0,据此可知a不垂直(b-c),该命题为真命题; ③若b≤0,则方程x-2bx+b+b=0的判别式Δ=(-2b)-4(b+b)=-4b≥0,方程有实根,为真命题,则其逆否命题为真命题; ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”,该命题为真命题. 综上可得,真命题是①②③④.故选B. 充分条件、必要条件的判断(师生共研) (1)(2019·高考天津卷)设x∈R,则“x-5x<0”是“|x-1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2 2 2 (2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4 【解析】 (1)由x-5x<0可得0 (2)b=0时,f(x)=cos x,显然f(x)是偶函数,故“b=0”是“f(x)是偶函数”的充分条件;f(x)是偶函数,则有f(-x)=f(x),即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,又cos(-x)=cos x,sin(-x)=-sin x,所以cos x-bsin x=cos x+bsin x,则2bsin 2 2 x=0对任意x∈R恒成立,得b=0,因此“b=0”是“f(x)是偶函数”的必要条件.因此“b=0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件,故选C. 【答案】 (1)B (2)C 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 1.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A?C,B??UC” 是“A∩B=?”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.由A?C,B??UC,易知A∩B=?,但A∩B=?时未必有A?C,B??UC,如图所示, 所以“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充分不必要条件. 2.设x∈R,则“2-x≥0”是“(x-1)≤1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B.2-x≥0,则x≤2,(x-1)≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2-x≥0”是“(x-1)≤1”的必要不充分条件. 3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5 2 22
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
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