第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理 1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 p?q且q?/ p p?/ q且q?p p?q p?/ q且q?/ p [注意] 不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
1
2．一些常见词语及其否定
词语 否定 二、习题改编 1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是( ) A．“若x 2 2 2 2 2 2 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于 B．“若x>y，则x>y” D．“若x≥y，则x≥y” 2 2 2 2 22 解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x≤y”．故选C. 2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2 2 解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＋2x－3<0”是命题．( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (5)q不是p的必要条件时，“p?/ q”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区 (1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错． π 1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ) 3A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题 2 2 解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则π △ABC有一内角为”，它是真命题． 3 2．已知p：a<0，q：a>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)． 解析：綈p：a≥0；綈q：a≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________． 答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0. 四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研) (2020·长春质量检测(二))命题“若x<1，则－1 【解析】 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x<1，则－1 222 2 2 2 2 2 x2≥1”．故选D. 【答案】 D (1)判断命题真假的两种方法 (2)由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． 3 1．命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( ) A．若a＋b≠0，则a≠0且b≠0 B．若a＋b≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a＋b≠0 D．若a≠0或b≠0，则a＋b≠0 解析：选D.“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a＋b≠0”，故选D. 2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是( ) ①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题； ②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题； ③“若b≤0，则方程x－2bx＋b＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A．①② C．②③④ B．①②③④ D．①③④ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题； ②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题； ③若b≤0，则方程x－2bx＋b＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)－4(b＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题． 综上可得，真命题是①②③④.故选B. 充分条件、必要条件的判断(师生共研) (1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2 2 2 2 2 (2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4 【解析】 (1)由x－5x<0可得0 (2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－bsin x＝cos x＋bsin x，则2bsin 2 2 x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C. 【答案】 (1)B (2)C 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??UC” 是“A∩B＝?”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由A?C，B??UC，易知A∩B＝?，但A∩B＝?时未必有A?C，B??UC，如图所示， 所以“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充分不必要条件． 2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)≤1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)≤1”的必要不充分条件． 3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 5 2 22
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
