5.3 万有引力定律与天文学的新发现
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路．
一、笔尖下发现的行星——海王星的发现
根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星． 二、哈雷彗星的预报
1．英国天文学家哈雷断言，1682年天空中出现的彗星与1531年、1607年出现的彗星是同一颗星．并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为76年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星．
2．1759年3月13日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的．
三、称量天体的质量——太阳质量的估算 1．称量地球的质量
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G2.
MmRgR2
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
G2．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
GMm4π2
(2)关系式：2＝m2r.
rT4πr(3)结论：M＝ 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
23
GT(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M. [即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．(×)
(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．(×)
1
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×) (4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(×) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(×) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√) 2．已知引力常量G＝6.67×10
－11
N·m/kg，重力加速度g＝9.8 m/s，地球半径R＝6.4×10
2226
m，则可知地球的质量约为( ) A．2×10 kg C．6×10 kg 答案 D
2218
B．2×10 kg D．6×10 kg
24
20
一、天体质量和密度的计算 [导学探究]
1．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”． (1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
MmgR2
(2)由mg＝G2，得：M＝ RGMM3gρ＝＝＝.
V434πGRπR3
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
23
Gm地M太4π24πrM太
答案 由2＝2m地r知M太＝可2，可以求出太阳的质量．由密度公式ρ＝rTGT43
πR太
3
知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径． [知识深化] 天体质量和密度的计算方法
情景 思路 “自力更生法” 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 物体的重力近似等于天体(如地球)与“借助外援法” 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 行星或卫星受到的万有引力充当向心力： 2
物体间的万有引力：mg＝G2 MmRMm2πG2＝m()2r rTMmv2(G2＝m) rr(GMm22＝mωr) r232天体质量 gR2天体(如地球)质量：M＝ G4πrrv中心天体质量：M＝ 2(M＝GTGr3ω2或M＝) Gρ＝M43πR3＝3πr3天体密度 ρ＝M4πR33g＝ 4πRG3GT2R3(以T为例) 说明 利用mg＝GMm求M是忽略了天体自转，由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质R2量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量 且g为天体表面的重力加速度 例1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ 答案 (1)
3π
GT1
3π?R＋h?
2 (2)23
3
GT2R解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
23
Mm4π24πR(1)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，M＝
RT1GT12
43
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR
3
23
M4πR3π
故该天体的密度为ρ＝＝＝2. V4GT1
GT12·πR3
3
(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有
2
Mm4πG(R＋h) 2＝m?R＋h?T22
4π?R＋h?M＝ 2
23
GT2
3
M4π2?R＋h?33π?R＋h?3
ρ＝＝＝
V4GT22R323
GT2·πR3
注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，
h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h.
针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约1
为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
201A. 10C．5 答案 B
B．1 D．10
Mm4π2r3
解析 由G2＝m2r得M∝2
rTT已知
r511T514M51133652
＝，＝，则＝()×()≈1，B项正确． r地20T地365M地204
例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比． 答案 (1)4∶1 (2)64∶1
GMmgR2M解析 (1)由2＝mg得M＝，所以ρ＝＝
RGV4g4
＝. g地1
gR2GπR3
3g3gR3g4πGρ地
＝，R＝，＝·4πGR4πGρR地4πGρ3g地3
＝
gR2MgR2G64
(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍．根据M＝得＝·. 2＝
GM地Gg地R地1
二、物体所受地球的引力与重力的关系 1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系
地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.当然，真实情况不会有这么大偏差．
4
图1
(1)物体在一般位置时
MmF′＝mrω2，F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg R(2)当物体在赤道上时，F′达到最大值Fmax′， Fmax′＝mRω2，此时重力最小； MmGmin＝F引－Fmax′＝G2－mRω2. r(3)当物体在两极时F′＝0 MmG＝F引，重力达最大值Gmax＝G2. r可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力． (4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力， Mmmg≈G2，g为地球表面的重力加速度． R2．重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G2(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速 ?R＋h?度)．所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 例3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度． 2hv3hv答案 (1)2 (2)2 L2πGRL122hv解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝gt，解得g＝2. 2L(2)在星球表面满足G2＝mg 2 2 2 MmMmR 5
2020最新高中物理 第5章 万有引力与航天 5.3 万有引力定律与天文学的新发现学案 沪科版必备2
