九年级竞赛讲义-第八讲--直线与圆

直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相

第七讲直线与圆

交。 j【我机関的時讶 闖七剑也线趴离M 衔的天系 公共点名称 线名称

切 2 dr l A

r

1 d=r 切点 HI b 割线 线 B

练习:

1、已知圆的直径为 13 cm,如果直线和圆心的距离为

4.5 cm,那么直线和圆有

_______ 个公共点。

2、Rt△ ABC的斜边AB= 4,直角边 AC= 2，若AB与O C相切，则O C的半径是 __________________

3、O O的半径为6 cm,弦AB的长为6 3 cm,以O为圆心，3 cm长为半径作圆，与弦 AB有 ______________ 个

公共点。

切线的性质及判定

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。

如图：如果直线I是O O的切线，点 A为切点，那么半径 OA与I垂直吗？ 反证法：设OA不垂直于I，那么过点O可作OM I，垂足为M根据“垂线 段最短”的性质，可得 OA OM。这就是说圆心到直线I的距离小于圆的半 径（即：d r）于是

I就应与O O相交，这与I是O O的切线相矛盾。因此， 与OA —定垂直。

切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线除定理外共有两种判定方法：

1） 定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

2） 数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 备注：证明一条直线是切线的方法： （如图（1） （2）） ① 连接OA（ A为圆上一点），且证明：OA I ② 作OA I交I于点A,且证明：OA r

总结为口诀：已知切点，连半径、证垂直; 未知切点，作垂

直、证半径

例1、已知：AD是/ BAC的平分线，BDC是切线，求证：EF// BC

例2、AB是O O的直径，点 D在AB的延长线上,

求证：DC是O 0的切线.

BD=OB点 C在圆上，/ CAB=3(0,

D

3、已知：△ ABC是等腰三角形，0是底边BC的中点，O 0与腰AB相切于点D,求证：AC与O 0相切

B

C

例4、已知：如图，在厶ABC中，BC=AC,以BC为直径的O 0与边AB相交于点D, DE丄AC,垂足为点E.

⑴求证：点D是AB的中点；

⑵判断DE与O 0的位置关系，并证明你的结论; 1

⑶若O 0的直径为18, COSB =-，求DE的长.

3

1、如图（1） , AB为O O的直径, =12 cm,Z B= 300,则/ ECB=

2、 下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与圆心的距离 等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于此直线的是切线。其中正确命题有（ A.①② B .②③ C .③④ D.①④

3、 如图，AB为O O的直径，BC是圆的切线，切点为 B, OC平行于弦 AD求证：DC是O O的切线。

4、如图，已知直线PA交O O于A、

过C作CD PA，垂足为D.

⑴求证：CD为O O的切线; ⑵若DC + DA=6 , O O的直径为

三、 切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线 的夹角。 思考：作图题：过圆外一点 P,求作O O的切线。

例5、如图，O O为Rt△ ABC的内切圆，/ C= 900,若/ BOC= 105°, AB= 4 c血，求/ OBC勺度数和 BC的 长。

练习：

1、如图，P是O O外一点，PA PB分别和O O相切于点A、B，C是4上任意一点，过 C作O O的切线 分别交PA PB于点D丘，若厶PDE的周长为12,则PA长为

2、如图, AB AC与O O相切与 B、C,Z A= 50°,点 P是圆上异于 是

B C的一动点，则/ BPC的度数

。

3、如图,

PA PB分别切O O于A、 B,O O 的半径为 J3 , / APB= 60°,求 PO PA PB 的长。

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