一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售A,B两种品牌的建材共126件，A种品牌的建
材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了减少了的值.
【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A品牌的建材x件.
根据题意，得6000x?9000?126?x??966000， 解这个不等式，得x?56， 答：至多销售A品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件， 根据题意，得
1a%，B种品牌的建材的销售量222a%，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加a%，求a3232?1??2???6000?1?a%??56?1?a%??9000?1?a%??70?1?a%???6000?56?9000?70??1?a%??2??3??23?，
2令a%?y，整理这个方程，得10y?3y?0，
解这个方程，得y1?0,y2?3， 10∴a1?0（舍去），a2?30， 即a的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．已知关于x的方程x2?3x?a?0①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程
k2?1(k?1)x?3x?2a?0②有实数根，又k为正整数，求代数式2的值．
k?k?6【答案】0. 【解析】 【分析】
2由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2
?x1?x2＝?3?则?x1x2＝a ， ?＝9?4a?0?11x1?x2?=3， 由条件，知?x1x2x1x2?39?3，且a?， a4故a＝－1，
即
则方程②为(k-1)x2+3x+2=0，
2k2?1Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=?，则2?0.
3k?k?6Ⅱ.当k-1≠0时，?=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则k?17， 8k2?1又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2无意义.
k?k?6k2?1综上，代数式2的值为0
k?k?6【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
3．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 【答案】（1）k＞
3；（2）15. 4【解析】 【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为m2?n2，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0， ∴k＞
3； 4(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为m，n， ∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：m2?n2?【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
?m?n?2?2mn?15.
4．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得
出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12， 整理得：x2﹣65x﹣750=0， （x﹣75）（x+10）=0， 解得：x1=75，x2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用
5．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业
解：x2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b2﹣4ac=9＞0
2?b?b?4ac=7?3∴x=
22a∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+（1）当m=2时，求△ABC的周长； （2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为△ABC为等边三角形时，m的值为1． 【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（
m1﹣=0的两个实数根． 247；（2）当2m1﹣）=m2﹣2m+1，可求得m. 24【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．
错误原因：此时不能构成三角形． （1）当m=2时，方程为x2﹣2x+∴x1=当∴当
3=0， 413，x2=． 221113为腰时，+<， 2222113、、不能构成三角形； 2223331为腰时，等腰三角形的三边为、、， 22223317++=． 22227． 2此时周长为
答：当m=2时，△ABC的周长为
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ∴△=（﹣m）2﹣4（∴m1=m2=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.
m1﹣）=m2﹣2m+1=0， 24
6．已知关于x的一元二次方程x??m?2?x?m?0（m为常数）
2（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；
(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=和m的方程组即可. 【详解】 (1)证明：
△=(m+2)2?4×1?m=m2+4， ∵无论m为何值时m2≥0，
m?2 ,2t=m,最终解出关于t1
中考数学易错题专题复习-一元二次方程练习题含答案
