1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比数列的求和公式Sn??a1(1?q)（切记：公比含字母时一定要讨论）
(q?1)??1?q3．错位相减法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：
1111111???(?) ；
n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?) n?n!?(n?1)!?n!
(2n?1)(2n?1)22n?12n?15．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。 7．倒序相加法：
8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：
例1．求和：①Sn?1?11?111???11????1
n个 ②Sn?(x?1211)?(x2?2)2???(xn?n)2 xxx ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和Sn 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①ak?11????1?1?10?10???10?k个2k1k(10?1) 911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n]99110(10n?1)10n?1?9n?10?[?n]? 9981②Sn?(x2?11142n?2)?(x??2)???(x??2) x2x4x2n?(x2?x4???x2n)?(111????)?2n x2x4x2nx2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）当x??1时，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）当x??1时,Sn?4n ③
ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]?
k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an?
5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???222622?1n(n?1)(5n?2) 6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q?1或q?1讨论。 2．错位相减法求和
例2．已知数列1,3a,5a,?,(2n?1)a2n?1(a?0)，求前n项和。
02n?1思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列a,a,a,?,a积，可用错位相减法求和。 解
：
对应项
Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1?1?
aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?2?
?1???2?:(1?a)Sn当
?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an
2a(1?an?1)n a?1时,(1?a)Sn?1??(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?2(1?a)2当a?1时,Sn?n
3.裂项相消法求和
2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解
:
(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)
(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2练习:求Sn??2?3???n 答案: Sn??
a(an?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和
012nn例4求证：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2 mn?m思路分析：由Cn?Cn可用倒序相加法求和。
012n证：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)
mn?m(2) ?Cn?Cn
nn?1210则Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn 012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立
5．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
n例5．已知数列?an?,an??2[n?(?1)],求Sn。
n思路分析：an??2n?2(?1)，通过分组，对n分奇偶讨论求和。
解：an??2n?2(?1)，若n?2m,则Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk
Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)
若
n?2m?1,则Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)
??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2
(n为正偶数)??n(n?1)?Sn?? 2??n?n?2(n为正奇数)2n预备：已知f(x)?a1x?a2x???anx,且a1,a2,a3,?an成等差数列，n为正偶数，
又f(1)?n,f(?1)?n，试比较f()与3的大小。
212?(a1?an)n2?n?f(1)?a1?a2?a3???an?n??a?an?2n2????1解：?
nd?2??f(?1)??a1?a2?a3???an?1?an?n?d?n2?2?a1?a1?(n?1)d?2n???a1?1?an?2n?1
d?2?f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn
可求得f()?3?()n?2?(2n?1)()n，∵n为正偶数，?f()?3
11111f()??3()2?5()3???(2n?1)()n2222212121212巩固练习
1．求下列数列的前n项和Sn：
5n(10?1)，…； 91111,,,L,,L； （2）
1?32?43?5n(n?2)1（3）an?；
n?n?123n（4）a,2a,3a,L,na,L；
（5）1?3,2?4,3?5,L,n(n?2),L； （6）sin21o?sin22o?sin23o?LL?sin289o．
（1）5，55，555，5555，…，
?6n?5(n为奇数)2．已知数列{an}的通项an??n，求其前n项和Sn．
2(n为偶数)?
n个n个6786785解：（1）Sn?5?55?555?L?55L5?(9?99?999?L?99L9)
95?[(10?1)?(102?1)?(103?1)?L?(10n?1)] 95505?[10?102?103?L?10n?n]?(10n?1)?n． 98191111?(?)， （2）∵
n(n?2)2nn?2111111111111∴Sn?[(1?)?(?)?(?)?L?(?)]?(1???)．
232435nn?222n?1n?21n?1?n（3）∵an???n?1?n n?n?1(n?n?1)(n?1?n)111??L?∴Sn?
2?13?2n?1?n?(2?1)?(3?2)?L?(n?1?n)?n?1?1．
23n（4）Sn?a?2a?3a?L?na，
n(n?1)， 223 当a?1时，Sn?a?2a?3a?…?nan ，
当a?1时，Sn?1?2?3?…?n?aSn?a2?2a3?3a4?…?nan?1，
两式相减得 (1?a)Sn?a?a?a?…?a?na23nn?1a(1?an)??nan?1，
1?anan?2?(n?1)an?1?a∴Sn?．
(1?a)22（5）∵n(n?2)?n?2n，
∴ 原式?(1?2?3?…?n)?2?(1?2?3?…?n)?（6）设S?sin21o?sin22o?sin23o?LL?sin289o， 又∵S?sin289o?sin288o?sin287o?LL?sin21o， ∴ 2S?89，S?2222n(n?1)(2n?7)．
689． 2?6n?5(n为奇数)2．已知数列{an}的通项an??n，求其前n项和Sn．
(n为偶数)?2解：奇数项组成以a1?1为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以a2?4为首项，公比为4的等比数列；
n?1n?1当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，
22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?， ???21?423n当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，
2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?， ???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)?(n为奇数)??23所以，Sn??． n?n(3n?2)?4(2?1)(n为偶数)?23?
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