对称性及常微分方程的精确解
1 根据对称性求解一阶常微分方程
如何求解一阶常微分方程
dyx?y2? (1) dxxy的精确解?
看起来有些困难。但是,仔细观察,不难发现方程具有如下对称性
x???2x
y???y也就是说对因变量y和自变量x作这样的变换,微分方程仍然不变
dy?x??y?2? ???dxxy我们看如何通过变换变量求解这个方程? 将变换写为
x??e2axy??eya (2)
可以看出,变换就是参数a从0改变的结果,可以认为是对a从0平移到a造成的。a可以任意改变不影响这个对称性,我们称方程(1)具有单参数平移变换不变性。 你可能有点不耐烦,“那有怎么样,我要的是方程的精确解!” 稍安勿躁,这包含变换变量的技巧!
如果我将因变量和自变量变为{w,t}?{y/x,ln(x)}又会怎样? 可以预见,方程(1)会变成F(为什么?
我们看w?y/x在变换(2)时是不变的w?y/x?y?/x?,而t?ln(x)在变换(2)时有t??ln(x?)?ln(ex)?t?a, 一般方程(1)会变为
a2222dw,w)?0的形式。这样就可以求解了! dtF(dw,t,w)?0 (3) dt的形式,但是别忘了方程(1)具有变换(2)不变性,同样地方程(3)也具有变换(2)不变性。 由于
dw和w在变换(2)中不变,在变换(2)时方程(3)变为 dtF(dw,t?a,w)?0 dt因此上述方程只能不再显含t。回答完毕。 我们看一看针对方程(1)具体的表达式
dwd(y2/x)xd(y2/x)2ydyy2????dt1/xdxdxdxx
x?y2y2y2?2y()??2?3?2?3wxyxx果然改变变量后
dw?2?3w不显含t。于是 dtdw?2?3w?t?C
1ln(2?3w)?t?C?31y2ln(2?3)?lnx?C ?3xy22?3?Cx?3xy??(x(2?Cx?3)/3)1/2这样就求出方程的精确解。
真得感谢对称性。是啊,对称性是个好东西!
2 寻找微分方程的对称不变解
微分方程有没有满足对称性(2)的解?有的,当C?0时y??(x)性。事先求解方程能否得到它?可以的。
看变换(2)满足的微分方程,如果将(2)看成包含参数a的隐函数(x?,y?不改变),231/2就具有(2)所示对称
dlny1? dlnx2我们知道方程(1)的对称解也满足这个方程,因此,对称解同时满足两个微分方程
dyx?y2?dxxy
dyy?dx2xyx?y23y2dy2??x,即y??(x)1/2。 消去,得到,即2xxy2dx3
3. 一般情况
我们应该总结一下了: 对于微分方程F(dy,x,y)?0, dx已经知道它的变换不变性
x??f(x,a)
y??g(y,a)其中f(x,0)?x;g(y,0)?y 我们可以反解出a来,
a?f?1(y,y?)a?g(x,x?)?1
?1?1选取变量{w,t}?{h(g(x,x0)?f(y,y0)),g?1(x,x0)},
?1?1这里x0,y0是任意选定的常数,h()是任意形式的函数,h(g(x,x0)?f(y,y0))可以是
变换不变的任意表达式。
就可以将方程化为G(dw,w)?0的形式,从而求解方程。 dt
计算微分方程的变换不变解,可以先计算对称解遵循的常微分方程
dy?ag(x,a)?dx?af(x,a)a?0
将这个导数带入原微分方程F(dy,x,y)?0,就得到 dxF(?ag(x,a)?af(x,a)a?0,x,y)?0
得到的隐函数就是微分方程的变换不变解。
4 根据对称性化简高阶微分方程或微分方程组
我们知道,高阶微分方程可以化为一阶微分方程组, 比如
d2ydy?2y?xy?0 dxdx就可以化为
dy?zdx
dz??2yz?xydx依次类推。
我们只将微分方程组的化简。 为了方便,我们举例讲解 比如微分方程组
dy?x?yzdx
dz1z2y??2dxyx?x?eax?2a满足变换?y?ey的不变性
?z?e?az?我们选取自变量t?ln(x),选取因变量u?可以预见原来方程组变为
y,v?xz x2du
?F(u,v)dt
dv
?G(u,v)dt
不显含t,原因同上面讲的一样,这个方程组,只能由变换不变的量组合起来,即由
dudv,,u,v组合而成,不能显含t。 dtdt将上式相除,可以约掉t,变为
duF(u,v)? dvG(u,v)使得方程组减少一个变量,化简了方程。 具体上述例子
dud(y/x2)dyyx?yzy???22??22?1?uv?2udtdlnxxdxxxx 22dvd(xz)xdz1zy1???zx?x2(?2)?zx??v2u?vdtdlnxdxyxu果然方程变为
du?1?uv?2udt
dv1??v2u?vdtu不再显含t,化简为常微分方程
duu(1?uv?2u) ?dv1?v2u2?vu碰巧,这个方程还有对称性,可以完全求解。这里作为读者一个练习题。
计算方程的不变解,与微分方程的情况相同。将对称性变为微分方程,
dlny?2dlnx
dlnz??1dlnx上述对称性解也满足这个微分方程,因此同时满足
dydxdzdxdydxdzdx?x?yz1z2y??2yx?2y/x??z/x
因此,对称解满足
?x?yz?2y/x? ?1z2y?y?x2??z/x?
4 根据对称性化简微分方程组
一般情况
du?,x,u?})?0,??1,...,n 常微分方程组F({dx?具有如下单参数变换不变性(单参数李群变换不变性)
x?X(x,{u?},a)u??U?(x,{u?},a),??1,...,n?
反求第一个方程得到a?T(x,{u}),上面n+1个方程消去a,可以得到n个表达式
V?(x,{u?}),??1,...,n
作新因变量w?V(x,{u}),??1,...,n,和新自变量t?T(x,{u}),原来微分方程组变为不显含t的方程组
????dw??W?({w?}),??1,...,n dt也可以化为n-1阶微分方程组
dw?W?({w?})?1,??2,...,n 1?dwW({w})
求解对称解也作为读者的练习题。
对称性及常微分方程的精确解
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