对称性及常微分方程的精确解

对称性及常微分方程的精确解

1 根据对称性求解一阶常微分方程

如何求解一阶常微分方程

dyx?y2? （1） dxxy的精确解？

看起来有些困难。但是，仔细观察，不难发现方程具有如下对称性

x???2x

y???y也就是说对因变量y和自变量x作这样的变换，微分方程仍然不变

dy?x??y?2? ???dxxy我们看如何通过变换变量求解这个方程？ 将变换写为

x??e2axy??eya （2）

可以看出，变换就是参数a从0改变的结果，可以认为是对a从0平移到a造成的。a可以任意改变不影响这个对称性，我们称方程（1）具有单参数平移变换不变性。 你可能有点不耐烦，“那有怎么样，我要的是方程的精确解！” 稍安勿躁，这包含变换变量的技巧！

如果我将因变量和自变量变为{w,t}?{y/x,ln(x)}又会怎样？ 可以预见，方程（1）会变成F(为什么？

我们看w?y/x在变换（2）时是不变的w?y/x?y?/x?，而t?ln(x)在变换（2）时有t??ln(x?)?ln(ex)?t?a， 一般方程（1）会变为

a2222dw,w)?0的形式。这样就可以求解了！ dtF(dw,t,w)?0 （3） dt的形式，但是别忘了方程（1）具有变换（2）不变性，同样地方程（3）也具有变换（2）不变性。 由于

dw和w在变换（2）中不变，在变换（2）时方程（3）变为 dtF(dw,t?a,w)?0 dt因此上述方程只能不再显含t。回答完毕。 我们看一看针对方程（1）具体的表达式

dwd(y2/x)xd(y2/x)2ydyy2????dt1/xdxdxdxx

x?y2y2y2?2y()??2?3?2?3wxyxx果然改变变量后

dw?2?3w不显含t。于是 dtdw?2?3w?t?C

1ln(2?3w)?t?C?31y2ln(2?3)?lnx?C ?3xy22?3?Cx?3xy??(x(2?Cx?3)/3)1/2这样就求出方程的精确解。

真得感谢对称性。是啊，对称性是个好东西！

2 寻找微分方程的对称不变解

微分方程有没有满足对称性(2)的解？有的，当C?0时y??(x)性。事先求解方程能否得到它？可以的。

看变换（2）满足的微分方程，如果将（2）看成包含参数a的隐函数（x?,y?不改变），231/2就具有（2）所示对称

dlny1? dlnx2我们知道方程（1）的对称解也满足这个方程，因此，对称解同时满足两个微分方程

dyx?y2?dxxy

dyy?dx2xyx?y23y2dy2??x，即y??(x)1/2。 消去，得到，即2xxy2dx3

3. 一般情况

我们应该总结一下了： 对于微分方程F(dy,x,y)?0， dx已经知道它的变换不变性

x??f(x,a)

y??g(y,a)其中f(x,0)?x;g(y,0)?y 我们可以反解出a来，

a?f?1(y,y?)a?g(x,x?)?1

?1?1选取变量{w,t}?{h(g(x,x0)?f(y,y0)),g?1(x,x0)}，

?1?1这里x0,y0是任意选定的常数，h()是任意形式的函数，h(g(x,x0)?f(y,y0))可以是

变换不变的任意表达式。

就可以将方程化为G(dw,w)?0的形式，从而求解方程。 dt

计算微分方程的变换不变解，可以先计算对称解遵循的常微分方程

dy?ag(x,a)?dx?af(x,a)a?0

将这个导数带入原微分方程F(dy,x,y)?0，就得到 dxF(?ag(x,a)?af(x,a)a?0,x,y)?0

得到的隐函数就是微分方程的变换不变解。

4 根据对称性化简高阶微分方程或微分方程组

我们知道，高阶微分方程可以化为一阶微分方程组， 比如

d2ydy?2y?xy?0 dxdx就可以化为

dy?zdx

dz??2yz?xydx依次类推。

我们只将微分方程组的化简。 为了方便，我们举例讲解 比如微分方程组

dy?x?yzdx

dz1z2y??2dxyx?x?eax?2a满足变换?y?ey的不变性

?z?e?az?我们选取自变量t?ln(x)，选取因变量u?可以预见原来方程组变为

y,v?xz x2du

?F(u,v)dt

dv

?G(u,v)dt

不显含t，原因同上面讲的一样，这个方程组，只能由变换不变的量组合起来，即由

dudv,,u,v组合而成，不能显含t。 dtdt将上式相除，可以约掉t，变为

duF(u,v)? dvG(u,v)使得方程组减少一个变量，化简了方程。 具体上述例子

dud(y/x2)dyyx?yzy???22??22?1?uv?2udtdlnxxdxxxx 22dvd(xz)xdz1zy1???zx?x2(?2)?zx??v2u?vdtdlnxdxyxu果然方程变为

du?1?uv?2udt

dv1??v2u?vdtu不再显含t，化简为常微分方程

duu(1?uv?2u) ?dv1?v2u2?vu碰巧，这个方程还有对称性，可以完全求解。这里作为读者一个练习题。

计算方程的不变解，与微分方程的情况相同。将对称性变为微分方程，

dlny?2dlnx

dlnz??1dlnx上述对称性解也满足这个微分方程，因此同时满足

dydxdzdxdydxdzdx?x?yz1z2y??2yx?2y/x??z/x

因此，对称解满足

?x?yz?2y/x? ?1z2y?y?x2??z/x?

4 根据对称性化简微分方程组

一般情况

du?,x,u?})?0,??1,...,n 常微分方程组F({dx?具有如下单参数变换不变性（单参数李群变换不变性）

x?X(x,{u?},a)u??U?(x,{u?},a),??1,...,n?

反求第一个方程得到a?T(x,{u})，上面n+1个方程消去a，可以得到n个表达式

V?(x,{u?}),??1,...,n

作新因变量w?V(x,{u}),??1,...,n，和新自变量t?T(x,{u})，原来微分方程组变为不显含t的方程组

????dw??W?({w?}),??1,...,n dt也可以化为n-1阶微分方程组

dw?W?({w?})?1,??2,...,n 1?dwW({w})

求解对称解也作为读者的练习题。