旗开得胜 第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
令m表示质子的质量，v0和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知
因为a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以lmax表示l的最大值，由角动量守恒有
1212mv0?mv?eU （1） 22mv0lmax?mvR （2）
由式（1）、（2）可得
lmax?1?代入数据，可得
eUR （3） 2mv0/2lmax?2R （4） 21
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旗开得胜 若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中e改为?e。同理可求得 lmax?
评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参考解答
在温度为T1?(27?273)K=300K时，气柱中的空气的压强和体积分别为
6R （5） 2p1?p0?h， （1） V1?lSC （2）
当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到
T2时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大
?h?bSC （3） SB由此造成气柱中空气体积的增大量为
?V??bSC （4）
1
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旗开得胜 与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大?h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
?V????hSA （5）
所以，当温度为T2时空气的体积和压强分别为
V2?V1??V???V?? （6） p2?p1??h （7）
由状态方程知
p1V1p2V2 （8） ?T1T2由以上各式，代入数据可得
T2?347.7K （9）
此值小于题给的最终温度T?273?t?370K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为
V?代入数据可得
TV2 （10） T2V?0.72cm3 （11）
评分标准：本题15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、参考解答
位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
1
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第20届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
