二次函数与一元二次方程复习 段村一中 温建城
类型之一 抛物线的平移
例1 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的函数表达式为( )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2＋2 D．y＝3(x－2)2－3 [答案] A
类型之二 二次函数的图象和性质
例2 如图2－T－1为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大．其中正确的说法有________(把正确答案的序号都填在横线上)．
图2－T－1
[答案] ①②④
[解析] ∵图象开口向上，∴a>0.∵图象与y轴交于原点的下方，∴c<0，∴ac<0，故①正确．∵图象与x轴交于点(－1，0)和点(3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3，故②正确．∵直线x＝1是对称轴，∴当x＝1时，a＋b＋c＜0，故③错误．在对称轴直线x＝1右侧，y随x的增大而增大，故④正确．
类型之三 二次函数与一元二次方程
例3 若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝________(只要求写出一个)．
[答案] 5(满足c>4的整数值都可以)
[解析] ∵抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，∴一元二次方程x2－4x＋c＝0没有实数根，∴(－4)2－4c＝16－4c<0，即c>4(c为整数)．
[点评] 考查二次函数图象与x轴的交点个数和一元二次方程的解之间的关系． 类型之四 二次函数最值的应用
例4 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图2－T－2所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数表达式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)
图2－T－2
解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得 80(a＋2)＝88a，解得a＝20.
答：现在实际购进这种水果每千克20元． (2)①∵y是x的一次函数， ∴可设函数表达式为y＝kx＋b，
将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得
??25k＋b＝165，
?
??35k＋b＝55，
解得k＝－11，b＝440，∴y＝－11x＋440. ②设最大利润为W元，则
W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100， ∴当x＝30时，W最大值＝1100.
答：将这种水果的销售单价定为30元/千克时，能获得最大利润1100元．
类型之五 二次函数与几何的综合
例5 [益阳中考] 如图2－T－3，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
(1)求a，k的值；
(2)在抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
图2－T－3
[解析] (1)先求出直线y＝－3x＋3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入y＝a(x－2)2＋k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2，由AQ＝BQ，得到方程1＋m2＝4＋(3－m)2，解方程求出m＝2，即可求得点Q的坐标；
(3)当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P(2，－1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN
中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A(1，0)，B(0，3)． 又抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1，0)，B(0，3)，
???a＋k＝0，?a＝1，∴?解得? ??4a＋k＝3.k＝－1.??
即a，k的值分别为1，－1.
(2)如图2－T－4①，设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.
在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2， 在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2. ∵AQ＝BQ，∴AQ2＝BQ2， ∴1＋m2＝4＋(3－m)2，∴m＝2. ∴点Q的坐标为(2，2)．
图2－T－4
(3)如图2－T－4②，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又对称轴直线x＝2是AC的中垂线，
∴点M与顶点P(2，－1)重合，点N为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)． 此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN， ∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN＝AF2＋NF2＝2，即正方形的边长为2.
怎样解二次函数的应用题
二次函数的应用题是各个省市中考的重点内容之一，也是初、高中数学的衔接点．二次函数的应用很广，既有求什么时候面积最大，也有求什么时候用料最省．那么我们怎样来把握呢？若以是否必须建立平面直角坐标系来划分，二次函数的应用题可分为以下三种类型． 一、不需要建立平面直角坐标系
例1 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化．讲课开始时，学生的注意力逐渐增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过试验分析可知学生的注意力y随时间t的变化规律有
如下的关系：
－t＋24t＋100（0＜t≤10），??
y＝?240（10＜t≤20）， ??－7t＋380（20＜t≤40）.
(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ (2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多少分钟？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
解：(1)当t＝5时，y＝195；当t＝25时，y＝205.
∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． (2)当0＜t≤10时，y＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244，
此二次函数图象的对称轴是直线t＝12，抛物线的开口向下，该图象在对称轴的左侧，y随t的增大而增大，
∴当t＝10时，y有最大值240.
当20＜t≤40时，y＝－7t＋380，y随t的增大而减小，∴当t＝20时，y有最大值240， ∴讲课开始后第10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟． (3)当0＜t≤10时，令y＝－t2＋24t＋100＝180， 解得t＝4.
当20＜t≤40时，令y＝－7t＋380＝180， 解得t≈28.57.
学生的注意力在180以上的持续时间为28.57－4＝24.57(分钟)．
因此，老师经过适当的安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 二、必须用到平面直角坐标系，但是题目已给出
例2 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图2－T－5所示)，拱高为6 m，跨度为20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2－T－6所示)，其函数表达式是y＝ax2＋c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值；
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二次函数与一元二次方程(复习)
