1.1 集合的含义及其表示
一、 学习内容、要求及建议
知识、方法
集合的概念 确定性、互异性、无序性 集合的表示 元素与集合、集合与集合的关系
列举法、描述法、Venn图
属于、包含
要求 了解 了解 了解
建议
集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.
二、 预习指导 1. 预习目标
(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题； (2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法； (3)会用列举法、描述法及Venn图表示集合. 2. 预习提纲
(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析. (2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.
(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.
(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确. (5)上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料. 3. 典型例题
例1 判断下列描述的对象能否构成集合：
(1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生. 分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合.
解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的
女生可以构成集合.
(2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)
班比较聪明的女生不能构成集合.
(3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班
学生家长可以构成集合.
(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高
一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.
点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素. 例2 用“?”或“?”符号填空：
(1)3.14 N； (2)? R； (3)2 N； (4)3 Q；
00 (5)sin45 R； (6)cos45 Z； (7)9 Q； (8)3 {(2，3)}.
4分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写
符号“?”或“?”.
解：(1) 3.14 ?N； (2)??R； (3)2?N； (4)3 ?Q；
(5)sin450?R； (6)cos450?Z； (7)9?Q； (8)3 ?{(2，3)} .
4点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.
例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数；
(3)方程x2?2x?3?0的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点.
解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为
{1，3，5，15}. (2)用描述法表示为xx?3n,n?Z.
(3)用列举法表示为{-1，3}.
(4)用描述法表示为（x,y)y?x,x?R.
点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.
(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集. 例4 用列举法表示下列集合：
|a||b|(1)A?{x|x? ?,a,b为非零实数}；ab(2) A?{(x,y)|y?????6?Z,x?N*}. 3?x解：(1)根据绝对值的定义化简x?|a|?|b|,
ab当a?0,b?0时, x?2； 当a?0,b?0时, x??2；
当a,b异号时, x?0.所以A?{?2,0,2}.
*(2)根据元素x满足的条件6?Z且x?N得到x的值.
3?xx所取的正整数必须使得3?x整除6,所以3?x??1,?2,?3,?6,
x?2,4,1,5,0,6,?3,9. 因为x?N*所以x?1,2,4,5,6,9.
所以 A?{(1,3),(2,6),(4,?6),(5,?3),(6,?2),(9,?1)}.
点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来. 例5 已知集合A?{a?2,(a?1)2,a2?3a?3}，若1?A，求实数a的值.
分析：?1?A，则a?2,(a?1)2,a2?3a?3均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检
验是否满足集合中元素的互异性.
解：(1)若a?2?1则a??1；此时，A?{1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若(a?1)2?1，则a?0或?2，当a?0时A?{2,1,3}，满足题意；当a??2时，
A?{0,1,1}与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)；
(3)若 a2?3a?3?1则a??1(舍去)或a??2 (舍去)．
综上所述，a?0，此时集合A?{2,1,3}.
点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”. 例6 已知集合A??1,1?x,1?2x?，集合B?1,y,y2，且A?B，求实数x和y的值. 分析：求未知数x和y的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.
???1?x?y2,?1?x?y,解：∵A?B，∴(Ⅰ)?或(Ⅱ)? 2?1?2x?y;?1?2x?y.?x?0,解方程组(Ⅰ)，得?检验知不合题意，舍去.
y?1.?3?x??,??x?0,?4或?x?0,解方程组(Ⅱ)，得?检验知不合题意，舍去. ??1y?1.?y?1.?y??;???2综上所述，x??,y??341. 24. 自我检测
(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .
①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程x2?1?0的实数解； ④周长为10cm的三角形.
x?2y?3(2)方程组的解集是 .
2x?y?11?1
(3)给出下列关系：①?R； ②2?Q；③ 3?N*；④0?Z. 其中正确的个数是 .
2
(4)下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是 .
①M?{?}, N?{3.14159}； ②M?{2,3}, N?{(2,3)}； ③M?{x|?1?x?1,x?N}, N?{1}； ④M?{1,3,?}, N?{?,1,|?3|}. (5)已知实数a?2，集合B?{x|?1?x?3}，则a与B的关系是 . (6)已知x?R，则集合{3,x,x2?2x}中元素x所应满足的条件为 . 三、 课后巩固练习
A组
1．判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；
(2)高一(1)班1988年出生的学生； (3)与一个角的两边距离相等的点； (4)难解的题目.
2．分别写出下列集合中的元素: (1){中国的直辖市)；
(2){大于0且小于5的整数的平方}； (3){大于10且小于20的合数}； (4){既是质数又是偶数的整数}； (5){大于10且小于20的质数}； (6){方程x?2004x?2003?0的解}； (7){24和36的正公因数}； (8){江苏省的省辖市}． 3．用“∈”或?号填空： (1)若A?{,246836 A； ,}则57749(2)若B={小于10的质数}，则3 B； (3)若C?{x?Z|?2?x?10},则5.5 C； (4)若D?{x?N|x?9},则8 D； (5)M?2??x,y?x2?y2?2x?4y?5?0，则数对??1,2? M.
?4．下面七个命题：(1)集合N中的最小元素是1：(2)若?a?N，则a?N (3)x2?4?4x 的解集为{2，2}；(4)0.7?Q；(5)方程?x?1?3?x?2??x?5??0的解集中含有3个元素；
(6)0??；(7)满足1?x?x的实数的全体形成的集合为R.其中正确命题是 ；不正确命题为 .
5．下列命题(1)0?x?0；(2)0??0,0?；(3)0??；(4)0?N中表述正确的
2????是 .
6．下列命题(1)?0???；(2)?1,2???2,1?；(3)0?N中表述正确的是 .
7．用列举法表示不等式组?2?2x?4?0的整数解集为 .
?1?x?2x?128．在实数范围内，方程x?x?6?0的解集是 ；方程x?x?1?0的解集是 .
9．设集合M={正方形}，T={能被7整除的数},P={比2大3的数}，H={大于1且小于2的有理数}，其中无限集为 .
10．下列每一题中各个集合的意义是否相同？并说明理由．
(1){1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; (2){x|x?0},{(x,y)|x?0,y?R}.
11．已知A?{x|1212?Q,x?Z,x??0},B?{y|?Z,y?Z,y??0}. xy(1)试判断集合A、B是有限集还是无限集； (2)试判断?1,8,1是否是这两个集合的元素． 25}，则以下结论中正确的是 (1)2?P且3?P；(2)2?P12．已知集合p?{x|x?但3?P；(3)2?P但3?P；(4)2?P且3?P.
B组
13．集合{有长为2的边和40度的内角的等腰三角形}的元素个数为 . 14．已知集合A??xx?N,??12??N?用列举法表示集合A为 . 6?x?2
2
15．下列四个集合中表示空集的是 (1){0}；(2){(x,y)|y=-x,x∈R，y∈R}； (3){x∈N|2x+3x-2=0}.
16．若集合{x|ax?x?1?0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为 . 17．数集{a,a?a}中实数a的取值范围是 . 18. 用列举法表示下列集合： ⑴{(x,y)|x+y=5, x∈N，y∈N}； ⑵{(x,y)|y=x-1, |x|≤2，x∈Z}.
19．直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 . (1){(x,y)|x=0, y≠0或x≠0，y=0}；(2){(x,y)|x=0且y=0}； (3){(x,y)|xy=0}；
22
2
22 (4){(x,y)|x,y不同时为0}.
220．若1?{x|x?ax?b?0},2?{x|x?ax?b?0},求a,b的值.
21. 设a,b均为整数，把形如a?b5的一切数构成的集合记作M，设x,y?M，试判断
xx?y,x?y,xy,是否属于集合M，并说明理由.
yC组
?x2?4??，用列举法表示集合A为 . 22．已知集合A??a关于x的方程?1有惟一解??x?a????
江苏省苏州市第五中学高中数学 1.1集合的含义及其表示学案 苏教版必修1
